زیرحلقه ای مثال بزنید که ایده آل نباشد.

Question

سلام. مثالی از یک حلقه ارائه دهید که زیرحلقه‌ای داشته باشد که ایده‌آل نباشد. آیا شرایط یا نتیجه و نکته‌ای برای پیدا کردن چنین مثالی وجود دارد؟

Answer 1

به نام خدا

این سوال دارای سطح ساده در بخش حلقه ها هست که مثال های متنوعی رو میشه در کتب جبر پیدا کرد.

اما ساده ترین مثالی که می توان بیان کرد، حلقه اعداد حقیقی تحت دو عمل جمع و ضرب می باشد که حلقه اعداد گویا تحت همان دو عمل نیز، زیرحلقه آن محسوب می شود.(که بسادگی با تعریف زیر حلقه اثبات میشه)

حال اگر بخواهیم ثابت کنیم که زیر حلقه $Q$ برای حلقه ی $R$ ، ایده آل نیست، کافی هست از تعریف ایده آل بودن استفاده شود، طبق تعریف، برای اثبات ایده آل نبودن، کافیه یکی از دوشرط زیر برقرار نباشد:

۱) اینکه ثایت کنیم که $(Q,+)$ زیر گروه $(R,+)$ نیست، که نمی شود، چون هست.

۲) یا اینکه یعنی بتوانیم عضوی از حلقه $R$ و عضوی زیر حلقه $Q$ بیابیم که ضرب آنها در $Q$ نباشد، که این راه بسیار ساده تر و اصطلاحاً تستی تر هست.

یعنی با انتخاب دلخواه، میتوان گفت با در نظر گرفتن $\sqrt{۲} \in R $ و $ \frac{۳}{۵} \in Q $ ضرب آنها یعنی $ \frac{۳ \sqrt{۲} }{۵} $ در مجموعه اعداد گویا نیست.

پس حلقه $(Q,+,×)$ زیر حلقه ، حلقه $(R,+,×)$ هست اما ایده آل آن نیست.

برای مثال های بیشتر می توانید از کتاب های جبر استفاده نمایید.

Answer 2

سلام ، مجموعه اعداد گویا همراه با عمل جمع معمولی و ضرب معمولی یک حلقه هست . مجموعه ی اعداد صحیح همراه با همون جمع و ضرب یک حلقه هست پس زیر حلقه ای از حلقه ی اعداد گویاست ، اما این زیرحلقه ایده آل نیست ، علتش هم واضحه . مثلا \frac{۱}{۲}×1= \frac{1}{2} روشن هست که یک دوم ، عضو اعداد صحیح نیست . در واقع هر ایده آلی زیر حلقه هست اما هر زیر حلقه ای ایده آل نیست.