ابتدا در حالت کلی سوال را حل میکنیم.
اولا هر ایده آل $ \mathbb{Z}_{n} $ به صورت $ (d)$ است که در آن $ d \mid n$
و به راحتی ثابت می شود که $ (d) $ ایده آلی ماکسیمال است اگروتنها اگر
$d $ یک عدد اول باشد که $ d \mid n$
چون در حلقه های متناهی هر ایده آل اول ایده آلی ماکسیمال است لذا از متناهی بودن $ \mathbb{Z}_{n} $ جواب قسمت ب بله است.
اگر $ n= {p_{1}}^{ \alpha _{1} }...{p_{t}}^{ \alpha _{t} } $ آنگاه اگر
$a \in Nil( \mathbb{Z}_{n}) $ باید یک $ m $ وجود داشته باشد که $ a^{m}=0 \Rightarrow n \mid a^{m} $ پس $p_{1}...p_{t} \mid a $
و از آنجاییکه $ a \in \mathbb{Z}_{n}$ لذا $a < n$ پس جواب تمام مضارب $p_{1}...p_{t}$ که کمتر از $n$ باشند است.
عناصر وارون پذیر $ \mathbb{Z}_{n} $ عناصری هستند که $gcd(a,n)=1$ باشد.
حل سوال شما:
الف)$(2)$ , $(3)$
ب) بله
ج) $Nil( \mathbb{Z}_{6}) =(0)$
و عناصر وارون پذیر آن عناصری هستند که نسبت به 6 اول باشند که فقط 5 راداریم و وارون آن خود 5 است
