ایده آل های اول حلقهٔ $\bar{\mathbb{Z}}_6$ را محاسبه کنید، آیا تمامشان ایده آل بیشینه هم هستند؟ عنصرهای پوچتوان و وارونپذیرش را نیز بدست آورید.

Question

حلقهٔ $\bar{\mathbb{Z}}_6$ را در نظر بگیرید.

الف) تمام ایده‌آل‌های اول $\bar{\mathbb{Z}}_6$ را محاسبه کنید.

ب) آیا در $\bar{\mathbb{Z}}_6$ هر ایده‌آل اول، یک ایده‌آل ماکسیمال نیز هست؟

ج) تمام عناصر وارون‌پذیر و تمام عناصر پوچ‌توان $\bar{\mathbb{Z}}_6$ را بنویسید.

Answer 1

ابتدا در حالت کلی سوال را حل میکنیم. اولا هر ایده آل $\mathbb{Z}_{n}$ به صورت $(d)$ است که در آن $d \mid n$

و به راحتی ثابت می شود که $(d)$ ایده آلی ماکسیمال است اگروتنها اگر $d$ یک عدد اول باشد که $d \mid n$

چون در حلقه های متناهی هر ایده آل اول ایده آلی ماکسیمال است لذا از متناهی بودن $\mathbb{Z}_{n}$ جواب قسمت ب بله است.

اگر $n= {p_{1}}^{ \alpha _{1} }...{p_{t}}^{ \alpha _{t} }$ آنگاه اگر $a \in Nil( \mathbb{Z}_{n})$ باید یک $m$ وجود داشته باشد که $a^{m}=0 \Rightarrow n \mid a^{m}$ پس $p_{1}...p_{t} \mid a$

و از آنجاییکه $a \in \mathbb{Z}_{n}$ لذا $a < n$ پس جواب تمام مضارب $p_{1}...p_{t}$ که کمتر از $n$ باشند است.

عناصر وارون پذیر $\mathbb{Z}_{n}$ عناصری هستند که $gcd(a,n)=1$ باشد.

حل سوال شما:

الف)$(2)$ , $(3)$

ب) بله

ج) $Nil( \mathbb{Z}_{6}) =(0)$

و عناصر وارون پذیر آن عناصری هستند که نسبت به 6 اول باشند که فقط 5 راداریم و وارون آن خود 5 است

Comments

سلام ببخشید در حالت کلی درباره تمام ایده ال های اول و ماکسیمال حلقه    mathbb{Z}_{n}\  چی میتوان گفت میشه همه ایده ال های اول و ماکسیمال این حلقه را بدست اورد

---

@Sh1292 متن پاسخ را خوانده‌اید؟ به نظرتان این پاسخ نمی‌گوید که ایده‌آل‌های اول و بیشینهٔ این حلقه برابر هستند و بوسیلهٔ شمارنده‌های اول $n$ بدست می‌آیند؟