$f$ همریختی پوشا بین دو حلقهٔ جایجایی یکدار. اگر $M$ ایده آل بیشنیه از دامنه و شامل $ker(f)$ باشد، آنگاه $f(M)$، ایده آلی بیشینه در همدامنه است.

Question

با سلام تو این پیج میخواستم یکی از قضیه های کاربردی در بحث حلقه ها رو مطرح کنم که اثباتش رو توی کتاب مبانی جبر مدرسان شریف دیده بودم اما یه مقدار ناواضح هست و فهمش مشکله . از دوستان میخام اگه اثباتی ساده راحت براش سراغ دارن لطفا پست کنن .

صورت این قضیه به این شکله :

فرض کنید R و S دو حلقه جابجایی و یکدار باشند به طوریکه $f: R \rightarrow S $ یک همریختی پوشا باشد. در این صورت : اگر M ایده آل ماکسیمال R باشد به طوریکه $kerf \subseteq M$ آنگاه $f(M)$ ایده آل ماکسیمال است .

تصویر این قضیه با اثباتش رو هم میزارم که اگه خواستید فقط همین اثباتی که توی این کتاب دیدم رو توضیح بدید که من متوجه بشم . شایدم اثبات مشکل داشته باشه نمیدونم .

با تشکر .

Comments

به نظرم اثبات کتاب ایراد نگارشی داره.

---

سلام ببخشید اثبات قسمت سوم را هم‌ بفرستید تا مطالعه کنیم لطفا

---

@Sh1292 پرسش‌تان را در قالب یک پست «پرسش» مجزا و جدید بپرسید.

---

ممنون پیدا کردم

Answer 1

سلام. قرار بدید $kerf=I$. پس طبق قضیه اول همریختی حلقه ها $R/I \cong S$. چون $M$ یک ایده آل ماکسیمال و شامل $I$ هست، پس $M/I$ هم در حلقه $R/I$ ایده آلی ماکسیمال است. اگر اثبات قضیه اول همریختی رو خونده باشید متوجه می شوید که یکریختی بین $R/I$ و $S$ توسط $f$ القا می شود و به علاوه اگر اسم اون نگاشت رو $h$ بگذارید، آن گاه $f(J)=h(J/I)$ که $J$ ایده‌آلی از $R$ و شامل $I$ است. چون $M/I$ یک ایده آل ماکسیمال از حلقه $R/I$ است و $h$ هم یکریختی است، پس $h(M/I)$ یک ایده آل ماکسیمال از $S$ است. اما $h(M/I)=f(M)$. پس $f(M)$ ایده‌آلی ماکسیمال از $S$ است.