آیا حلقهٔ $\mathbb{Z}$ به همراه جمع و ضرب معمولی اعداد، ایده آلی به جز $n\mathbb{Z}$ها نیز دارد؟

Question

فرض کنید که می‌دانيم كه به ازاى هر مقدار صحيح $n$، $n\mathbb{Z}$ها ايده‌آل‌هاى $\mathbb{Z}$ هستند. اکنون آیا به جز $n\mathbb{Z}$ها ايده‌آل‌هاي دیگری هم براى $\mathbb{Z}$ وجود دارد؟ با اثبات.

Comments

می دانیم که $\Bbb{Z}$ یک دامنه ایده آل اصلی (یا PID) است و در نتیجه هر ایده آل آن اصلی است. بنابراین اگر $I$ ایده آلی از آن باشد، $n\in\Bbb{Z}$ هست که $I$ با ایده آل تولید شده توسط $n$ برابر باشد. ولی چون $\Bbb{Z}$ جابجایی و یکدار است، پس $(n)=n\Bbb{Z}$. در نتیجه هر ایده آل از $\Bbb{Z}$ به صورت $n\Bbb{Z}$ است.

---

@AbbasJ پاسخ شما به دیدگاه تغییر یافت. چون متن پرسش خودش گفته‌بود که ایده‌آل بودنِ $n\mathbb{Z}$ها را فرض گرفته‌ایم و پرسش این بود که «آیا ایده‌آل دیگری غیر از اینها موجود است؟». در واقع این پرسش اثباتِ دامنهٔ ایده‌آل اصلی بودنِ $\mathbb{Z}$ را می‌خواهد.

Answer 1

پاسخ خیر است، تنها ایده‌آل‌های $\mathbb{Z}$ همان $n\mathbb{Z}$ها هستند که خودتان گفته‌اید اثبات ایده‌آل بودنِ آنها را می‌دانید (یا در پرسش دانسته‌شده فرض گرفته‌شده‌است). چرا ایده‌آل دیگری نیست؟ $I$ را یک ایده‌آل از $\mathbb{Z}$ بردارید. فرض خلف کنید که هیچ عددِ $n$ای یافت نشود که اعضای $I$ همگی مضرب‌های آن باشند. دو عضو دلخواه از $I$ بردارید و آنها را $a$ و $b$ بنامید. توجه کنید که بنا به لم اقلیدس، ب.م.م-ِ دو عدد صحیح را می‌توان به شکل ترکیب خطی‌ای از آن دو نوشت یعنی اگر $d$ ب.م.م $a$ و $b$ باشد، آنگاه دو عدد صحیحِ $k_1$ و $k_2$ای یافت می‌شوند که $d=k_1a+k_2b$ و چون $a,b\in I$ پس باید $k_1a,k_2b\in I$ و در نتیجه $k_1a+k_2b\in I$ (به خاطر تعریف ایده‌آل) که یعنی $d\in I$. اگر هر عضوی از $I$ مضربِ $d$ باشد که آنگاه $I=d\mathbb{Z}$ است. پس اگر هنوز فرض خلف برقرار باشد باید عضو دیگری باشد که مضربِ $d$ نباشد، آن را $c$ بنامید، اکنون به دلیل یکسان ب.م.م-ِ $d$ و $c$ باید عضوِ $I$ باشد. ولی توجه کنید که این ب.م.م-ِ جدید باید اکیدا از $d$ کوچکتر باشد چون $c$ مضربِ $d$ نیست. این روند را ادامه دهید، توجه کنید که $d$ یک عدد متناهی است، و تعداد عددهای طبیعی بین $d$ و ۱ متناهی است (توجه کنید که چون منفی یک عضو $\mathbb{Z}$ است و $d$ عضو $I$ پس اینکه ب.م.م را مثبت یا منفی قرارداد کنید مشکلی در اثبات ایجاد نخواهد کرد). پس نمی‌توان این روند را بینهایت بار ادامه داد و در نتیجه پس از تکرار متناهی مرتبهٔ این روند با فرض خلف به تناقض می‌رسیم و یک عدد می‌یابیم که همهٔ عضوهای $I$ باید مضرب‌شان باشد پس اگر این عدد را $n$ بنامیم تا اینجا ثابت کردیم که

$$\exists n\in\mathbb{Z}\;\colon\;I\subseteq n\mathbb{Z}$$

و سمت عکسِ این شمول نیز بدیهی برقرار است به دلیل تعریف ایده‌آل. پس در واقع تساوی را داریم. و این اثبات را کامل می‌کند.