به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی

محفل ریاضی ایرانیان یک سایت پرسش و پاسخ برای تمامی کسانی است که ریاضی می خوانند. دانش آموزان، دانشجویان و اساتید ریاضی اینجا هستند. به ما ملحق شوید:

عضویت

هر سوال ریاضی که دارید می توانید بپرسید

سوال بپرسید

می توانید به سوالات پاسخ دهید

سوالات

امتیاز بگیرید و به دیگران امتیاز دهید

بدون پاسخ

0 امتیاز
622 بازدید
در دانشگاه توسط saragh79 (60 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید که می‌دانيم كه به ازاى هر مقدار صحيح n، n\mathbb{Z}ها ايده‌آل‌هاى \mathbb{Z} هستند. اکنون آیا به جز n\mathbb{Z}ها ايده‌آل‌هاي دیگری هم براى \mathbb{Z} وجود دارد؟ با اثبات.

توسط AbbasJ (364 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
می دانیم که \Bbb{Z} یک دامنه ایده آل اصلی (یا PID) است و در نتیجه هر ایده آل آن اصلی است. بنابراین اگر I ایده آلی از آن باشد، n\in\Bbb{Z} هست که I با ایده آل تولید شده توسط n برابر باشد. ولی چون \Bbb{Z} جابجایی و یکدار است، پس (n)=n\Bbb{Z}. در نتیجه هر ایده آل از \Bbb{Z} به صورت n\Bbb{Z} است.
توسط AmirHosein (19,676 امتیاز)
@AbbasJ پاسخ شما به دیدگاه تغییر یافت. چون متن پرسش خودش گفته‌بود که ایده‌آل بودنِ n\mathbb{Z}ها را فرض گرفته‌ایم و پرسش این بود که «آیا ایده‌آل دیگری غیر از اینها موجود است؟». در واقع این پرسش اثباتِ دامنهٔ ایده‌آل اصلی بودنِ \mathbb{Z} را می‌خواهد.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein (19,676 امتیاز)

پاسخ خیر است، تنها ایده‌آل‌های \mathbb{Z} همان n\mathbb{Z}ها هستند که خودتان گفته‌اید اثبات ایده‌آل بودنِ آنها را می‌دانید (یا در پرسش دانسته‌شده فرض گرفته‌شده‌است). چرا ایده‌آل دیگری نیست؟ I را یک ایده‌آل از \mathbb{Z} بردارید. فرض خلف کنید که هیچ عددِ nای یافت نشود که اعضای I همگی مضرب‌های آن باشند. دو عضو دلخواه از I بردارید و آنها را a و b بنامید. توجه کنید که بنا به لم اقلیدس، ب.م.م-ِ دو عدد صحیح را می‌توان به شکل ترکیب خطی‌ای از آن دو نوشت یعنی اگر d ب.م.م a و b باشد، آنگاه دو عدد صحیحِ k_1 و k_2ای یافت می‌شوند که d=k_1a+k_2b و چون a,b\in I پس باید k_1a,k_2b\in I و در نتیجه k_1a+k_2b\in I (به خاطر تعریف ایده‌آل) که یعنی d\in I. اگر هر عضوی از I مضربِ d باشد که آنگاه I=d\mathbb{Z} است. پس اگر هنوز فرض خلف برقرار باشد باید عضو دیگری باشد که مضربِ d نباشد، آن را c بنامید، اکنون به دلیل یکسان ب.م.م-ِ d و c باید عضوِ I باشد. ولی توجه کنید که این ب.م.م-ِ جدید باید اکیدا از d کوچکتر باشد چون c مضربِ d نیست. این روند را ادامه دهید، توجه کنید که d یک عدد متناهی است، و تعداد عددهای طبیعی بین d و ۱ متناهی است (توجه کنید که چون منفی یک عضو \mathbb{Z} است و d عضو I پس اینکه ب.م.م را مثبت یا منفی قرارداد کنید مشکلی در اثبات ایجاد نخواهد کرد). پس نمی‌توان این روند را بینهایت بار ادامه داد و در نتیجه پس از تکرار متناهی مرتبهٔ این روند با فرض خلف به تناقض می‌رسیم و یک عدد می‌یابیم که همهٔ عضوهای I باید مضرب‌شان باشد پس اگر این عدد را n بنامیم تا اینجا ثابت کردیم که

\exists n\in\mathbb{Z}\;\colon\;I\subseteq n\mathbb{Z}

و سمت عکسِ این شمول نیز بدیهی برقرار است به دلیل تعریف ایده‌آل. پس در واقع تساوی را داریم. و این اثبات را کامل می‌کند.

...