تجزیه $LU$ ماتریس با محورگیری جزئی

Question

روش تجزیه $LU$ ماتریس با محورگیری جزئی و کلی را لطفا با ذکر مثال شرح دهید.

Answer 1

ماتریس $A= \begin{bmatrix}2 & 3 \\6 & 7 \end{bmatrix}$ را در نظر بگیرید ابتدا می خواهیم تجزیه ای به صورت $LU$ را برای این ماتریس بنویسیم برای این کار ماتریس $U$ را به صورت $\begin{bmatrix} u_{11} &u_{12} \\0 & u_{22} \end{bmatrix}$ و$L$ را به صورت $\begin{bmatrix} l_{11} &0 \\l_{21} & l_{22} \end{bmatrix}$ در نظر میگیریم برای بدست آوردن تجزیه چندین روش داریم که از روش دولیتل استفاده میکنم یعنی عناصر قطر اصلی $L$ را $1$ در نظر میگیرم پس داریم:

$$A= \begin{bmatrix} 1 &0 \\l_{21} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} &u_{12} \\0 & u_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_{11} & u_{12} \\l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} +u_{22} \end{bmatrix}$$ پس داریم: $$L=\begin{bmatrix} 1 &0 \\3 & 1 \end{bmatrix} ,U=\begin{bmatrix} 2 &3 \\0 & -2 \end{bmatrix}$$

با روش حذفی گاوسی داریم: $A= \begin{bmatrix}2 & 3 \\6 & 7 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}2 & 3 \\0 & -2 \end{bmatrix}$ که همان $U$ بدست آمده در بالا است. برای محور گیری جزئی در مرحله ی اول اگر بین عناصر ستون اول بیشتری مقدار را $a_{r1}$ داشته باشد سطر $r$ام را با سطر اول جابجا میکنیم تا $a_{11} = max_{1 \leq j \leq n} a_{1j}$ باشد در اینجا کافیست سطر دوم را با سطر اول جایگذاری کنیم.لذا ماتریس به $\begin{bmatrix}6 & 7 \\2 & 3 \end{bmatrix}$ تبدیل می شود که از روش حذفی گاوس ماتریس بالا مثلثی به صورت $\begin{bmatrix}6 & 7 \\0 & \frac{2}{3} \end{bmatrix}$ است و با جایگذاری $\begin{bmatrix} l_{11} &0 \\l_{21} & l_{22} \end{bmatrix}$ ماتریس پایین مثلثی $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ \frac{1}{3} & 1 \end{bmatrix}$ بدست می آید.

برای محور گیری کلی بین سطرهای زیر $a_{11}$ و ستون های بعد آن دنبال درایه ای میگردیم که از همه بزرگتر باشد که در اینجا درایه ی $a_{22}=7$ است ابتدا سطر $2$ را با$1$ عوض میکنیم سپس ستون $2$ را با ستون $1$ عوض می کنیم تا ماتریس $\begin{bmatrix}7 & 6 \\3 & 2 \end{bmatrix}$ بدست آید حال از روش حذفی گاوس ماتریس بالا مثلثی $\begin{bmatrix}7 & 6 \\0 & \frac{-4}{7} \end{bmatrix}$ بدست می آید و با جایگذاری ماتریس پایین مثلثی $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ \frac{3}{7} & 1 \end{bmatrix}$ بدست می آید.