مبانی ترکیبیات_ریاضیات گسسته

Question

چند عدد از اعداد کوچک تر از 10000مجموع ارقام برابر 25 است اعداد کوچک تر از 10000که مجموع ارقام انها برابر 25 است؟

Answer 1

• معادله زیر در $Z$ برای اعداد کوچکتر 10000 بصورت $ \overline{ x_1 x_2 x_4x_4} $ در نظر بگیرید $$ x_1 + x_2 + x_3+x_4=25\ \qquad \; x_1، x_2, x_3, x_4\ge 0 $$
• تعداد جواب معادله سیاله برابر است با $$ \binom{24+1++1+1+1}{3} = \binom{28}{3} $$
• واضح است که در بین این تعداد جواب بعضی ار قام حداکثر دو رقم بزرگتر از 9 می باشند که آنها را باید حساب کرد آنهایی که حداقل یک رقم بزرگتر از 9 دارند برابر است با $$ A=4×\binom{24+3-9}{3} $$
• حال تعداد آنهایی که حداقل (دقیقا، سه رقم ممکن نیست) دو رقم بزرگتر از 9 دارند $$B= \binom{4}{2} ×\binom{24+2-9-9}{3} $$
• بنابراین جواب نهایی بنابه اصل شمول و عدم شمول برابر است با $$ \binom{28}{3} -A+B $$

Comments

سلام
با تشکر از پاسخ گویی شما
سوالی برایم پیش امد که چرا جواب معادله سیاله اولی ترکیب 3 از 29 شد مگه نباید میشد ترکیب 3 از 25+3یعنی 28

---

تعداد جواب صحیح نامنفی معادله $25=......$ با تعداد جواب طبیعی معادله $29=......$ برابر است به برای تبدیل هر متغیر یک واحد به طرفین اضافه می کنم همیشه به با اضافه یا کم کردن به معادله با جواب طبیعی تبدیل می کنم  اما تعداد جواب طبیعی برابر است با 29 (در حالت کلی n ) تا یک در یک ر دیف بنویسید با سه تا جدا کننده  28 (n-1) مکان بین یک ها وجوددارد پس جوابش ترکیب 28 به 3(ترکیب n-1به3) می شود. که اشتباها به جای 28 عدد29 نوشتم الان تصحیحش می کنم ممنون از سوال شما.