بررسی همگرایی یا واگرایی $((n(n+1)(n+2)))/ ا ∑$

Question

$\sum _1 ^ ∞ \{1/((n(n+1)(n+2)))} $

1. سلام . من این رو اول مثل سری های تلسکوپی حل کردم و بعد از این که ۳ تا کسر کشیدم و به دست آوردم . دیدم انگار سری تلسکوپی نیست چون که این اولا : این جا ۳تا کسر داریم و اگه به جای هر کدوم از n ها اگر n+1 بزارم کسر های دیگه به وجود نمیاد پس تلسکوپی نیست. به نظرم با آزمون مقایسه شاید حل بشه ولی مطمئن نیستم. حالا این جا سری تلسکوپیه یا نه؟ و این که اگه تلسکوپی هست چه طور حل کنم من تا حالا با ۳ تا کسر سری تلسکوپی حل نکردم . نمی فهمم . میشه برام توضیح بدین چه طور حل کنم و بفهمم که آیا این سری همگراست یا واگرا؟؟؟؟؟

Answer 1

از تساوی زیر برای تلسکوپی استفاده می کنیم رابطه زیر قابل تعمیم است

$$ \frac{\color{red} 2}{n(n+1)(n+\color{red} 2)}= \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+\color{red} 2)} $$

پس خواهیم داشت

Comments

سری که من نوشتم صورتش یک هست نه ۲.
   و این که این جا انگار ۳تا پرانتز در مخرج داریم من خودم حل کردم ۳ تا کسر کشیدم . ولی این جا شما ۲ تا کسر کشیدید این فرمولشه که ۲ تا کسر کشیدید؟؟؟

حالا این جا همگرا به 1/4 شده درسته؟
یه سوال دیگه هم داشتم:
سری هم هست که کران پایینش از منفی شروع شده باشه؟؟؟؟
ممنون میشم برام توضیح بدین.