در یک آزمون ۶۰ پرسشی چهارگزینه ای چقدر احتمال دارد که به هیچ پرسشی پاسخ درست داده نشود؟

Question

احتمال اینکه در یک آزمون چهار جوابی شامل 60 سؤال

1. به هیچ سؤالی پاسخ صحیح ندهیم چقدر است؟
2. احتمال اینکه به 50 سؤال پاسخ صحیح بدهیم چقدر است؟

Comments

@alireza51 به فکر و تلاش خود اشاره کنید. قرار نیست به چشم حل‌المسائل به این سایت نگاه کنید که سوال‌های تکالیف را قرار دهید و پاسخ را کپی-پیست کنید. عنوان پرسش نیز مناسب نیست، به ویرایشی که بر روی پرسش‌تان انجام دادم نگاه کنید و با عنوان قبلی‌ای که گذاشته‌بودید مقایسه کنید.

Answer 1

به نام خدا.

فضای نمونه را حساب می کنیم:

در هر سوال $4$ گزینه موجود است و شما علاوه بر این ها می توانید به سوال پاسخ ندهید یعنی $5$ حالت برای هر سوال موجود است. برای یک سوال شما یکی از حالات زیر را باید انجام دهید:

۱. گزینه اول را بزنید

۲.گزینه دوم را بزنید

۳.گزینه سوم را یزنید

۴.گزینه چهارم را بزنید

۵.هیچ کدام را نزنید

از آنجایی که $60$ سوال داریم پس:

$n(S)=5^{60}$

برای اینکه به هیچ سوال پاسخ درست ندهیم، هر سوال $4$ حالت دارد. پس:

$n(A)= 4^{60}$

پس :

$p(A)= \frac{4^{60}}{5^{60}} $

برای قسمت بعد ابتدا $50$ سوال از $60$ تا سوال را انتخاب می کنیم و سپس به یک طریق جواب صحیح می دهیم، حال $10$ سوال باقی می ماند که به $4^{10}$ حالت به آنان می توان پاسخ داد:

$p(B)= \frac{ \binom{60}{50}×4^{10} }{5^{60}}$

Comments

@good4us ویرایش کردم.

---

@Elyas1 البته بنده خیلی تخصصی در این مسائل ندارم .ان شاالله اساتید دیگر نظر بدهند.
ممنونم

---

با تشکر از وقتی که گذاشتید . ممنون

---

با سلام و تشکر . چرا مخرج رو 5 قراردادید . متوجه نشودم

---

@alireza51 اگر پاسخ درست است و برایتان مفید بوده‌است بر روی تیک تأیید سمت راستش کلیک کنید به جای اینکه دیدگاه تشکر بگذارید.

Answer 2

• این احتمال در واقع احتمال برنولی لست

فرمول برنولی: احتمال آنکه در n آزمایش مستقل پیشامد، دقیقا k مرتبه صرف نظر از ترتیب موفق شویم برابر است با( p = احتمال موفقیت در هر آزمایش) $$ \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} $$

واضح است کهn=60 و $ p= \frac{1}{5} $

• الف k=0 $$ \binom{60}{0} ( \frac{1}{5} )^0(1- \frac{1} {5})^{60} =(\frac{4}{5} )^{60}$$
• ج k=50 $$ \binom{60}{50} ( \frac{1}{5} )^{50}(1- \frac{1} {5})^{10} = \binom{60}{50}( \frac{1}{5}) ^{50}(\frac{4}{5} )^{10}$$