جملۀ $n$-اُم دنبالۀ $\lbrace 1,6,16,33,59,...\rbrace$ چیست؟ و جملۀ هشتم این الگو چیست؟ ممنون می شوم راهنمایی کنید.

Question

با سلام

جملۀ $n$-اُم دنبالۀ زیر چیست؟

$$\lbrace 1,6,16,33,59,...\rbrace$$

آیا تصاعد هندسی است یا حسابی؟ جملۀ هشتم چه عددی می‌شود؟ و از چه روشی می‌توان به‌راحتی رابطۀ یک الگو را کشف کرد؟

Comments

واضح است که نه حسابی و نه هندسی.
اما جمله عمومی یکتا نیست. تقریبا می توان گفت از جزء به کل (یکتا) نمی توان رسید

---

salar0049 به تلاش خودتون اشاره نکردید.

---

@salar0049 عنوان پرسش باید پرسش را مشخص کند، آن را با «لطفا کمک کنید و غیره» پر نکنید.
پست زیر را بخوانید https://math.irancircle.com/11973

Answer 1

جمله عمومی این دنباله یکتا نیست ولی در صورتی که الگوی دنباله به این صورت در نظر گرفته شود که 1=$a_1$ و هر جمله غیر از جمله اول به صورت$$ n^2+1+a_{n-1} =a_n $$ باشد؛جمله ی عمومی دنباله به صورت زیر $\frac{2n^3+3n^2+7n-6}6$=$a_n$و بنابراین 211=$a_8$ خواهد بود

Answer 2

به نام خدا

دنباله‌ای که در متن پرسش نوشتید، یک دنبالهٔ غیر خطی درجهٔ سه است. شکل کلی جملهٔ $n$-اُم یک دنبالهٔ غیر خطی درجهٔ سه، به‌شکل زیر است:

$$t_n=an^3+bn^2+cn+d$$

دقت‌کنید که $t_n$ در اینجا یعنی جملهٔ $n$-اُم و $a$، $b$، $c$ و $d$ عددهایی هستند که باید متناسب با دنبالهٔ مورد نظرمان، آن‌ها را به‌دست آوریم و در این‌صورت جملهٔ عمومی دنبالهٔ مورد نظرمان به‌دست می‌آید.

برای به‌دست آوردن مقادیر $a$، $b$، $c$ و $d$، باید یک دستگاه معادلات چهار معادله و چهار مجهول را به‌شکل زیر تشکیل دهیم:

$$ \begin{cases}a+b+c+d=t_1 & \\8a+4b+2c+d=t_2 & \\27a+9b+3c+d=t_3 & \\64a+16b+4c+d=t_4 \end{cases} $$

که $t_1$، $t_2$، $t_3$ و $t_4$ به‌ترتیب برابر با جملات اول، دوم، سوم و چهارم دنبالهٔ مورد نظرمان هستند. پس برای به‌دست آوردن جملهٔ عمومی دنباله‌ای که در متن پرسش نوشتید، باید جملات اول، دوم، سوم و چهارم آن را، به‌ترتیب بجای $t_1$، $t_2$، $t_3$ و $t_4$ در دستگاه معادلات بالا قرار دهیم:

$$ \begin{cases}a+b+c+d=1 & \\8a+4b+2c+d=6 & \\27a+9b+3c+d=16 & \\64a+16b+4c+d=33 \end{cases} $$

با حل این دستگاه معادلات و به‌دست آوردن مقادیر $a$، $b$، $c$ و $d$ و قرار دادن آن‌ها در رابطهٔ $t_n=an^3+bn^2+cn+d$، جملهٔ $n$-اُم دنباله‌ای که در متن پرسش نوشته‌اید، به‌دست می‌آید.

مقادیر $a$، $b$، $c$ و $d$، به‌ترتیب برابر می‌شوند با $ \frac{1}{3} $، $ \frac{1}{2} $، $ \frac{7}{6} $ و $-1$؛ که آن‌ها را در رابطهٔ $t_n=an^3+bn^2+cn+d$ قرار می‌دهیم و جملهٔ $n$-اُم دنباله‌ای که در متن پرسش نوشته‌اید، برابر می‌شود با:

$$t_n= \frac{1}{3}n^3+ \frac{1}{2}n^2+ \frac{7}{6}n-1$$

همچنین جملهٔ هشتم برابر می‌شود با: $211$.