میانگین سوخت مصرفی یک موتور از $f(x)=0.3+0.5 e^{-0.76x}$ بدست می آید. با ۴ لیتر بنزین این موتور چند کیلومتر می تواند برود؟

Question

مصرف بنزین موتوری از رابطهٔ زیر پیروی می‌کند.

$$f(x)=0.3+0.5 e^{-0.76x}$$

متغیر $x$ مسافت پیموده شده از زمان شروع تا اکنون و بر حسب کیلومتر است، و خروجیِ $f(x)$ میانگین مقدار بنزین مصرف‌شده است در طی این مدت است، پس دارای واحد لیتر بر کیلومتر است. در لحظهٔ شروع حرکت ۴ لیتر بنزین در باک موتور هست. چه میزان مسافت توسط این موتور می‌تواند پیموده شود؟

Comments

این e⁸ هست؟؟ یعنی چه؟!

---

بنظرم عبارت ریاضی نیاز به ویرایش داشت؟

Answer 1

برای اینکه از ابهام پیشگیری کنیم بیایید تابعی که میزان مصرف سوخت (و نه میانگینش) را به ما می‌دهد را با $c(x)$ نمایش دهیم. در اینصورت بنا به تعریف تابع $f(x)$ که میانگین سوخت مصرف شده از ابتدای حرکت تا پس از پیموده شدن مسافت $x$ کیلومتر برای هر یک کیلومتر است برابر می‌شود با $\frac{c(x)}{x}$ یعنی میزان سوخت مصرف‌شده تقسیم بر مسافت طی‌شده. اکنون داریم:

$$c(x)=xf(x)=x(0.3+0.5e^{-0.76x})=0.3x+0.5xe^{-0.76x}$$

مشتق این تابع برابر با $0.3+\frac{0.5-0.76x}{e^{0.76x}}$ می‌شود که درست است که قسمت سمت راستش پس از $x=1.52$ منفی می‌شود ولی چون مخرجش سرعت رشد بیشتری دارد، با افزایش $x$، این قسمت منفی کوچک و کوچکتر می‌شود و با توجه به اینکه در ایتدای این از $0.3$ کوچکتر است پس نتیجهٔ کلی این است که مقدار مشتق برای $x>0$ همواره مثبت است که ثابت می‌کند تابع مصرف سوخت یعنی $c(x)$ افزایشی اکید (اکیدا صعودی) است. پس مشکلی از این دید ندارد. اگر به نمودار $c(x)$ نگاه کنید به تابع خطیِ $y=0.3x$ میل می‌کند که معنای این را می‌دهد که این موتور تقریبا میزان سوخت یکسانی در هر قسمت از حرکتش دارد و تنها در ابتدای نمودار مثلا $x\in(0,2)$ یک مقدار خم مانند با شیب قائم‌تر در ابتدا دارد که این مفهوم را مدل می‌کند که در ابتدای استارت‌زدن برای روشن کردن موتور و یا افزایش سرعت و شتاب دادن تا از سکون به سرعت یکنواخت حرکت مورد نظر برسید ممکن است نیاز به یک مقدار مصرف بیشتر داشته باشید.

و اما اکنون حل پرسش اصلی. اکنون که ضابطهٔ $c(x)$ را می‌دانید کافی است برابریِ (معادلهٔ) $c(x)=4$ را حل کنید. برای این کار می‌توانید از روش‌هایی مانند روش نیوتن و غیره برای حل برابری‌های تک‌متغیره از درس حساب‌دیفرانسیل و انتگرال پیش‌دانشگاهی یا آنالیزعددی کارشناسی استفاده کنید. پاسخ نهایی با چند رقم پس از اعشار برابر می‌شود با $13.3324498500$ کیلومتر.

Answer 2

برای حل این سوال، ابتدا باید مقدار x را پیدا کنیم که در آن میزان بنزین مصرفی به صورتی باشد که باقی‌مانده بنزین در باک موتور به صفر برسد. سپس با استفاده از این x، مقدار مسافتی که توسط موتور پیموده می‌شود را محاسبه می‌کنیم.

از این رابطه برای محاسبه‌ی مقدار x استفاده می‌کنیم:

[ 0.3 + 0.5e^{-0.76x} = 4 ]

حال مقدار x را حل می‌کنیم:

[ 0.5e^{-0.76x} = 4 - 0.3 ] [ 0.5e^{-0.76x} = 3.7 ] [ e^{-0.76x} = \frac{3.7}{0.5} ] [ e^{-0.76x} = 7.4 ] [ -0.76x = \ln(7.4) ] [ x = \frac{\ln(7.4)}{-0.76} ]

حال مقدار x را پیدا کرده‌ایم. برای محاسبه‌ی مقدار مسافتی که توسط موتور پیموده می‌شود، از این مقدار x استفاده می‌کنیم و آن را در رابطه اولیه جایگذاری می‌کنیم:

[ x = \frac{\ln(7.4)}{-0.76} ]

حال می‌توانیم این معادله را حل کنیم تا مقدار مسافت را بدست آوریم. https://bazarmotoriran.blog.ir/