مجموعهٔ نخستتان را با $\Omega$ نمایش دهید، پس $\Omega=\lbrace 3,6,9,12,15,18\rbrace$. تعداد زیرمجموعههای سهتایی آن $\binom{5}{3}=10$ است. شما به حالت تصادفی در حال گزینش یکی از این ۱۰ مجموعه هستید. سپس میانگین سه عضو داخل سهتاییِ گزیدهشده را حساب میکنید. پس از چند بار تکرار این آزمایش، شما یک مجموعهٔ جدید دارید که اعضایش میانگینهای محاسبه شده هستند که یک عدد ممکن است چند بار تکرار شدهباشد، پس در واقع یک multiset مجموعهٔ باتکرار دارید. یا میتوانید تعداد دفعات تکرار را ضریب وزن در نظر بگیرید. به هر حال کاری که اکنون میخواهید بکنید این است که میانگین این عددهای داخل مجموعهٔ تکراردارِ جدیدتان را بگیرید و همینطور انحراف از معیار این مجموعهداده. اگر مقدار دقیق را بخواهید باید توجه کنید که چون کاملا تصادفی در نظر گرفتید و هیچ فرض افزونتری ندادهاید و توزیع خاصی را اشاره نکردید، به صورت پیشفرض آزمایشتان با توزیع یکنواخت مجهز است. پس ۱۰ داده (۱۰ عدد که هر یک میانگین یکی از این ۳-تاییهای ممکن است) دارید با احتمال رویدادن یکسان. میانگین میشود جمعشان تقسیم بر ۱۰ و انحراف معیار برابر با جذر میانگین مجذور انحراف این ۱۰ عضو از میانگینشان. این محاسبه را با نرمافزار Maple در زیر انجام دادهایم. البته برایتان باید روشن باشد که این میانگین چیزی به جز میانگین خود $\Omega$ نباید باشد. توجه کنید که دستورِ choose از بستهٔ combinat زمانی که دو ورودی دارد که ورودی یکُم یک لیست و ورودی دوم یک عدد طبیعی است، به شما لیستی شامل تمام زیرلیستهای ممکن با تعداد عضو برابر با عددی که دادید خواهد داد. دستورهای add و numelems نیز به ترتیب برای جمع و تعداد اعضا به کار میروند.
Omega:=[6,9,12,15,18]:
cases:=combinat:-choose(Omega,3);
casesAvrList:=[seq(add(j2,j2 in j1)/3,j1 in cases)];
casesAvrAvr:=add(j,j in casesAvrList)/numelems(casesAvrList);
casesAvrVar:=add((j-casesAvrAvr)^2,j in casesAvrList)/numelems(casesAvrList);
sqrt(casesAvrVar);
که میانگین میانگینها را ۱۲ و انحراف معیار آن را $\sqrt{3}$ میدهد. اکنون بیاییم با روش نخست یعنی شبیهسازی تکرار این نمونهگیریهای سهتایی حاصل را تقریب بزنیم. دستور rand(1..10)() یک عدد طبیعی بین ۱ و ۱۰ به تصادف گزینش میکند. پروسهٔ simulation که در زیر نوشتهایم یک عدد طبیعی $n$ به عنوان ورودی میگیرد، سپس به آن تعداد مرتبه یکی از ۱۰ سهتایی را به تصادف بزمیگزیند، میانگین میگیرد. سپس حاصل و تواندویش را به ترتیب به $\Sigma x_i$ و $\Sigma x_i^2$ها که $x_i$ها میانگینها هستند، میافزاید. در نهایت با توجه به اینکه میانگین برابر با $\frac{1}{n}\sum x_i$ و واریانس برابر با $\frac{1}{n}\sum x_i^2$ منهای تواندوی میانگین است، و انحراف معیار برابر با جذر واریانس، به شما میانگین نهایی و انحراف معیار میانگینها نسبت به این میانگین را میدهید.
simulation:=proc(n::posint)::satisfies(j->j::list,j->numelems(j)=2,j->j[2]>=0);
description "picking n random triples from Omega, taking average each time. After all n samples are done, it returns the average and standard deviation of the avrages.";
local i::posint,s::integer:=0,s2::posint:=0,x::integer,xAvr,x2Avr;
for i from 1 by 1 to n do
x:=casesAvrList[rand(1..10)()];
s+=x;
s2+=x^2;
end do;
xAvr:=s/n;
x2Avr:=s2/n;
return([xAvr,sqrt(x2Avr-xAvr^2)]);
end proc;
خروجی آن برای $n=10^i$ که $i$ از صفر تا ۶ افزایش یافته است را به ترتیب در زیر آوردهایم. توجه کنید که چون این پروسه تصادفی است، هر بار که آن را اجرا کنید ممکن است خروجیهای متفاوتی را بگیرید ولی نکتهٔ اصلی اینجاست که با افزایش $n$ اختلاف خروجی نسبت به مقدارهای واقعی کم و کمتر میشود.
$$\begin{array}{c|c|c}
i & \text{برآورد میانگین} & \text{برآورد انحراف معیار}\\\hline
0 & 13 & 0 \\\hline
1 & 12.7000000000 & 1.9000000000 \\\hline
2 & 11.9400000000 & 1.7822457740 \\\hline
3 & 11.9160000000 & 1.7195766920 \\\hline
4 & 11.9996000000 & 1.7224981390 \\\hline
5 & 11.9981800000 & 1.7345883340 \\\hline
6 & 11.9996470000 & 1.7320839690 \\
\end{array}$$
و توجه کنید که $\sqrt{3}\simeq 1.7320508080$.
