باید در سوال مشخص کنید که دنباله دقیقا به چه صورتی تعریف شده است. اگر دنباله را به صورت بازگشتی زیر تعریف کنیم
$$x_{n+1}=\frac2{3-x_n}$$
در اینصورت لازم است که مقدار اولیه آن(یعنی جمله اول آن) مشخص شود یعنی $x_1=?$.
اگر فرض کنیم جمله اول برابر $2$ باشد در اینصورت این دنباله چیزی جز دنباله ثابت $2$ نخواهد بود که واضح است به $2$ همگراست.
اگر جمله اول آن را $x_1=1$ بگیریم در اینصورت دنباله برابر دنباله ثابت $1$ خواهد بود که به $1$ همگرا می شود.
حال برای مثال فرض کنیم جمله اول مقداری کمتر از یک باشد یعنی $x_1\leq 1$ . در اینصورت اولا
$$x_n\leq 1\quad (\forall n\in \mathbb N)$$
دلیل این امر هم واضح است چون بنابر استقرای ریاضی برای جمله اول بنابر فرض $x_1\leq 1$ و اگر فرض کنیم $x_k\leq 1$ در اینصورت خواهیم داشت $x_{k+1}=\frac{2}{3-x_k}\leq 1$.
ثانیا $x_n$ دنباله ای صعودی است یعنی
$$x_n\leq x_{n+1}$$
این هم با استقرای ریاضی ثابت می شود. در واقع $x_1\leq x_2=\frac{2}{3-x_1}$ اگر و تنها اگر $x_1\leq 1$ یا $x_1\geq 2$ که چون $x_1\leq 1$ فرض شده است پس این نامساوی برقرار است. حال اگر فرض کنیم $x_k\leq x_{k+1}$ در اینصورت $-x_k\geq -x_{k+1}$ و لذا $3-x_k\geq 3-x_{k+1}$ و اگر این را معکوس کنیم و در $2$ ضرب کنیم داریم $ \frac{2}{3-x_k}\leq \frac{2}{3-x_{k+1}} $ یعنی $x_{k+1}\leq x_{k+2}$.
بنابراین دنباله ای داریم که صعودی و از بالا کراندار است پس همگرا می شود. اگر فرض کنیم $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ در اینصورت حد هر زیردنباله ی آن هم برابر $x$ است پس از $x_{n}=\frac{2}{3-x_{n-1}}$ با گرفتن حد داریم $x=\frac 2{3-x}$ که وقتی حل کنیم داریم $x=1$ یا $x=2$ اما چون جملات دنباله ثابت کردیم همگی از $1$ کمترند یعنی $x_n\leq 1$ پس باید $x\leq 1$ باشد لذا در اینجا $x=1$ قابل قبول است.
