رقم دوم سمت راست ممیز عبارت$\frac{202}{100^{3}} + \frac{204}{101^{3}}+\frac{206}{102^{3}}+...+\frac{402}{200^{3}} $

Question

رقم دوم سمت راست ممیز عبارت زیر چند است؟

$\frac{202}{100^{3}} + \frac{204}{101^{3}} + \frac{206}{102^{3}} +...+ \frac{402}{200^{3}} $

راهنمایی :رقم مورد نظر ۱ است .

تلاش خودم : با باز کردن عبارت به عبارت جدید زیر رسیدم که شاید مفید باشد :

$2*(\frac{1}{100^{2}} + \frac{1}{101^{2}} + \frac{1}{102^{2}}+...+\frac{1}{200^{2}} +\frac{1}{100^{3}} +\frac{1}{101^{3}} + \frac{1}{102^{3}}+...+\frac{1}{200^{3}}) $

Answer 1

رقم دوم عدد بعد از اعشار a برابر رقم یکان عدد 100a می باشد.

$a=2*(\frac{1}{100^{2}} + \frac{1}{101^{2}} + \frac{1}{102^{2}}+...+\frac{1}{200^{2}} +\frac{1}{100^{3}} +\frac{1}{101^{3}} + \frac{1}{102^{3}}+...+\frac{1}{200^{3}}) $ $$ \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2 }} > \sum { \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}} = \frac{101}{20100} $$

بنابراین رقم دو بعد از اعشار سری اول به صورت زیر است $$200 \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2 }} = \frac{202}{201} \quad (1) $$

برای سری دوم

$$200 \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^3}} >\sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2 }}> \sum { \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}} = \frac{101}{20100} \quad (2) $$

از مجموع دو رابطه بالا بدست می آید $$100a>1.01 \quad (3)$$

روند بالا یکبار دیگر بصورت زیر انجام می دهیم $$ \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2 }} < \sum { \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}} = \frac{101}{19800} $$

بنابراین رقم دو بعد از اعشار سری اول به صورت زیر است $$200 \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2 }} = \frac{202}{198} \quad (4) $$

برای سری دوم $$200 \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^3}}< 2\sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2}} < 2\sum { \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}} = \frac{202}{19800} \quad (5) $$ از مجموع دو رابطه اخیربدست می آید $$100a< 1.031 \quad (6)$$

با توجه به روابط3 و 6 نتیجه می شود که یکان $100a$ یعنی 1 جواب مسئله است.

Answer 2

عبارت رو به این صورت مینویسیم :

$ \sum ^{200} _{i=100} \frac{2(i+1)}{i^3} = $

$ 2 \space(\sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^2} + \sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^3} )$

نامساوی کوشی-شوارتز نتیجه میدهد :

لم تیتو ( Sedrakyan's lemma )

$\sum^n _i \frac{a^2_i}{b_i} \geq \frac{(\sum^n_ia_i)^2}{\sum ^n_ib_i}$

و میدانیم :

$\sum ^{n} _{i=1} i^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum ^{n} _{i=1} i^3 = \frac{(n)^2(n+1)^2}{4}$

$\sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^2} \geq \frac{101^2 }{\sum ^{200} _{i=100} i^2} =\frac{10201}{\frac{200 ·201·401}{6}-\frac{99 ·100·199}{6}} = \frac{10201}{2358350} \simeq 0.004 $

$\sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^3} \geq \frac{101^2 }{\sum ^{200} _{i=100} i^3} = \frac{10201}{\frac{200^2·201^2}{4}-\frac{99^2·100^2}{4}}= \frac{10201}{379507500} \simeq 0.000027$

$2 \space(\sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^2} + \sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^3} ) \geq 0.008054$

و این مقدار تقریبا برابر $0.01$ میشه

Comments

شما نشان دادید بزرگتر از 0.008054است چرا خودصفر نیست یاارقام دیگر. خط آخر استدلال متوجه نشدم.
رقم دوم بعد از ممیز دقیقا چند گفتید؟ احساس کردم  منظور 1 می باشه.در هر صورت با خط آخر مشکل دارم.