به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
81 بازدید
در دبیرستان توسط SN (249 امتیاز)
ویرایش شده توسط SN

رقم دوم سمت راست ممیز عبارت زیر چند است؟

$\frac{202}{100^{3}} + \frac{204}{101^{3}} + \frac{206}{102^{3}} +...+ \frac{402}{200^{3}} $

راهنمایی :رقم مورد نظر ۱ است .

تلاش خودم : با باز کردن عبارت به عبارت جدید زیر رسیدم که شاید مفید باشد :

$2*(\frac{1}{100^{2}} + \frac{1}{101^{2}} + \frac{1}{102^{2}}+...+\frac{1}{200^{2}} +\frac{1}{100^{3}} +\frac{1}{101^{3}} + \frac{1}{102^{3}}+...+\frac{1}{200^{3}}) $

مرجع: المپیاد ریاضی دانش آموزی مرحله اول سال ۱۴۰۰ سوال ۲۵

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط amir7788 (2,488 امتیاز)
انتخاب شده توسط SN
 
بهترین پاسخ

رقم دوم عدد بعد از اعشار a برابر رقم یکان عدد 100a می باشد.

$a=2*(\frac{1}{100^{2}} + \frac{1}{101^{2}} + \frac{1}{102^{2}}+...+\frac{1}{200^{2}} +\frac{1}{100^{3}} +\frac{1}{101^{3}} + \frac{1}{102^{3}}+...+\frac{1}{200^{3}}) $ $$ \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2 }} > \sum { \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}} = \frac{101}{20100} $$

بنابراین رقم دو بعد از اعشار سری اول به صورت زیر است $$200 \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2 }} = \frac{202}{201} \quad (1) $$

برای سری دوم

$$200 \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^3}} >\sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2 }}> \sum { \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}} = \frac{101}{20100} \quad (2) $$

از مجموع دو رابطه بالا بدست می آید $$100a>1.01 \quad (3)$$

روند بالا یکبار دیگر بصورت زیر انجام می دهیم $$ \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2 }} < \sum { \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}} = \frac{101}{19800} $$

بنابراین رقم دو بعد از اعشار سری اول به صورت زیر است $$200 \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2 }} = \frac{202}{198} \quad (4) $$

برای سری دوم $$200 \sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^3}}< 2\sum _{100}^{2 00}{ \frac{1}{n^2}} < 2\sum { \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}} = \frac{202}{19800} \quad (5) $$ از مجموع دو رابطه اخیربدست می آید $$100a< 1.031 \quad (6)$$

با توجه به روابط3 و 6 نتیجه می شود که یکان $100a$ یعنی 1 جواب مسئله است.

+1 امتیاز
توسط matt (245 امتیاز)

عبارت رو به این صورت مینویسیم :

$ \sum ^{200} _{i=100} \frac{2(i+1)}{i^3} = $

$ 2 \space(\sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^2} + \sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^3} )$

نامساوی کوشی-شوارتز نتیجه میدهد :

لم تیتو ( Sedrakyan's lemma )

$\sum^n _i \frac{a^2_i}{b_i} \geq \frac{(\sum^n_ia_i)^2}{\sum ^n_ib_i}$

و میدانیم :

$\sum ^{n} _{i=1} i^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum ^{n} _{i=1} i^3 = \frac{(n)^2(n+1)^2}{4}$

$\sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^2} \geq \frac{101^2 }{\sum ^{200} _{i=100} i^2} =\frac{10201}{\frac{200 ·201·401}{6}-\frac{99 ·100·199}{6}} = \frac{10201}{2358350} \simeq 0.004 $

$\sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^3} \geq \frac{101^2 }{\sum ^{200} _{i=100} i^3} = \frac{10201}{\frac{200^2·201^2}{4}-\frac{99^2·100^2}{4}}= \frac{10201}{379507500} \simeq 0.000027$

$2 \space(\sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^2} + \sum ^{200} _{i=100} \frac{1}{i^3} ) \geq 0.008054$

و این مقدار تقریبا برابر $0.01$ میشه

توسط amir7788 (2,488 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788
شما نشان دادید بزرگتر از 0.008054است چرا خودصفر نیست یاارقام دیگر. خط آخر استدلال متوجه نشدم.
رقم دوم بعد از ممیز دقیقا چند گفتید؟ احساس کردم  منظور 1 می باشه.در هر صورت با خط آخر مشکل دارم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...