تعداد حالتهای تشکیل ۳ گروه ۴ نفره از بین ۱۲ نفر؟

Question

با ۱۲ نفر می‌خواهیم ۳ گروه ۴ نفره برای بحث کردن تشکیل دهیم. به چند طریق امکان‌پذیر است؟

$۱) ۴ \binom{۱۲}{۳} ^{۲}$

$۲)۳ \binom{۱۲}{۴} ^{۲}$

$۳) \frac{۱۲!}{ ۲^{۱۰}× ۳^{۴} }$

$۴) \frac{۱۲!}{ ۲^{۹}× ۳^{۳} }$

تلاش بنده؛

سه بار ۴ عضو را از تعداد موجود (باقی مانده) برای تشکیل سه گروه انتخاب می‌کنم:

از چپ پاسخ بصورت $\binom{۱۲}{۴} × \binom{۸}{۴}× \binom{۴}{۴}$ که در نهایت پاسخ برابر گزینه ۴ می‌شود. (مغایر با کلید اولیه)

آیا در راه حل مشکلی وجود دارد؟

سپاس

Comments

m.t.riazi@ به نظرم راه شما مشکلی ندارد

Answer 1

به نام خدا.

اگر پرسش از شما می خواست که به سه گروه چهار نفره $A,B,C$ تقسیم کنیم، آنگاه پاسخ شما درست خواهد بود. اما در این سوال گفته نشده است که به سه گروه$A,B,C$ تقسیم کنیم. پس باید در $\frac{1}{3!}$ ضرب کنید. با یک مثال شاید بهتر بتوان بررسی کرد.

فرض کنید این $12$ نفر در سه ردیف چهار تایی قرار دارند. ردیف ها را شماره گذاری کنید. پاسخ شما حالت های زیر را حساب کرده است:

1.ردیف اول انتخابات می کنیم سپس ردیف دوم و سپس ردیف سوم.

2.ردیف اول را انتخاب می کنیم سپس ردیف سوم و سپس ردیف دوم.

۳. ردیف دوم سپس ردیف اول سپس ردیف سوم.

۴.ردیف دوم سپس ردیف سوم سپس ردیف اول.

۵.ردیف سوم سپس ردیف دوم سپس ردیف اول.

۶. ردیف سوم سپس ردیف اول سپس ردیف دوم.

ولی برای ما ترتیب اهمیتی ندارد. پس باید در $\frac{1}{3!}$

ضرب کنید. یا به عبارتی دیگر به هر صورت که $12$ نفر را به $3$ گروه چهار نفره تقسیم کنیم، به $3!$ طریق می توانیم نامهای $A,B,C$ را بدهیم. پس باید در $\frac{1}{3!}$ ضرب کنید. پس جواب گزینه $3$

البته شما می توانید از راه های دیگر استفاده کنید که من اینجا می نویسم:

روش دوم: یک نفر را به دلخواه انتخاب کنید این فرد به $\binom{11}{3}$ طریق می تواند هم گروهی های خود را انتخاب کند. حال ار $8$ نفر باقی مانده یک نفر دیگر را انتخاب کنید به $\binom{7}{3}$ می تواند هم گروهی اش را انتخاب کند.حال چهار نفر باقیمانده اند که به یک طریق گروه می شوند. پس جواب می شود:

$\binom{11}{3} × \binom{7}{3} × \binom{3}{3}$

روش سوم: تمام $12$ نفر را در جاهای خالی قرار دهید:

{$(1)$ , $(2)$, $(3)$ , $(4)$}

{$(5)$, $(6)$, $(7)$ , $(8)$}

{$(9)$, $(10)$, $(11)$ , $(12)$}

واضح است که به $12!$ می توان عضو ها را قرار داد. ولی ترتیب اعضای هر مجموعه و خود این $3$ مجموعه رعایت شده است. پس پاسخ می شود:

$\frac{12!}{(4!×4!×4!)×3!} = \frac{12!}{2^{10}×3^4}$

Comments

@Elyas1
نشکر از توجه شما و زمانی که گذاشتین.