تعداد حالت هایی که ۴ کتاب فیزیک و ۳ شیمی، همگی متمایز، ردیف شوند و هیچ ۲ شیمی ای کنار هم نباشد را بیابید.

Question

۴‏ کتاب فیزیک و ۳‏ کتاب شیمی (همه کتاب‌ها متمایزند) در یک ردیف کتابخانه قرار دارند. اگر هیچ دو کتاب شیمی در کنار هم نباشند، چند درصد احتمال دارد که کتاب‌ها یک در میان چیده شده باشند؟

در پاسخنامه تعداد حالات مطلوب یعنی چیدمان یک در میان کتاب ها، چهار فاکتوریل ضربدر 3 فاکتوریل محاسبه شده است که به نظر من هم درست است. اما تعداد کل حالات اینطوری محاسبه شده: $۴!× \binom{5}{3} ×۳!$ و در نتیجه جواب شده 10 درصد. اما به نظر من تعداد حالات کل درست نیست. ممنون می شم راهنمایی بفرمایید.

Answer 1

بیاییم حالات کل در این پرسش را بیابیم یعنی تعداد حالت‌هایی که هیچ دو کتاب شیمی‌ای کنار هم نیستند. ۳ کتاب شیمی را سه مرز یا خط در نظر بگیرید. می‌خواهیم ۴ کتاب فیزیک را در چهار جایگاه ایجاد شده بین این سه خط بچینیم. این چهار جایگاه را از چپ به راست جایگاه یکم تا چهارم بنامید و تعدادِ کتاب‌های فیزیکی که در جایگاه $i$اُم قرار می‌گیرد را با $x_i$ نمایش دهید. چون نمی‌خواهیم هیچ دو خطی (شیمی‌ای) کنارِ هم باشد، باید $x_2$ و $x_3$ ناصفر باشند. اما $x_1$ و $x_4$ الزامی به ناصفر بودن ندارند. برای اینکه مطمئن شویم دو جایگاه دو و سه خالی نمانند از همین نخست یک کتاب در آنها می‌گذاریم پس به جای یافتن تعداد پاسخ‌های برابریِ $x_1+x_2+x_3+x_4=4$ باید تعداد پاسخ‌های برابریِ $x_1+x_2+x_3+x_4=2$ را بیابیم و برای هر پاسخش به $x_2$ و $x_3$ یک واحد بیفزائیم تا به پاسخ‌های اصلی برسیم. خب این برابر با $\binom{4+2-1}{2}$ که با $\binom{4+2-1}{4-1}$ برابر است، می‌شود. و چون کتاب‌ها متمایز هستند یک $3!$ برای جایگشت شیمی‌ها و یک $4!$ برای جایگشت فیزیک‌ها هم باید ضرب کنیم. پس پاسخ نهاییِ پاسخنامه درست است.

Comments

ممنون از وقتی که گذاشتید.
من تا x1+x2+x3+x4=2 رو متوجه شدم. ولی باقیش رو که به ترکیب 2 از 5 رسیدید متوجه نشدم. چرا تعداد جواب ها با ترکیب 2 از 5 برابر است؟ 1-2+4 از کجا اومد؟

---

@rafig256 در واقع فرمولی هست که در درس ریاضیات‌گسستهٔ پیش‌دانشگاهی (دست‌کم زمان ما) بود. تعداد پاسخ‌های صحیحِ نامنفی برای برابریِ $x_1+\dots+x_m=n$ برابر با $\binom{m+n-1}{n}$ است که خب با $\binom{m+n-1}{m-1}$ هم برابر است. اثباتش هم ساده بود. $n$ تا دایره و $m-1$ خط در نظر بگیرید. در واقع پخش‌کردن $n$ تا دایره در $m$ جایگاه برابر با چیدن $m-1$ خط در لابلای (با شمول ابتدا و انتها) این دایره‌هاست. مثلا $oo|||$ را می‌توانید $(2,0,0,0)$ بخوانید و $o||o|$ را $(1,0,1,0)$ بخوانید. یعنی تعداد دایره‌های گذاشته شده در جایگاه نخست تعداد دایره‌ها پیش از خط یکُم، تعداد دایره‌ها در جایگاه دوم برابر تعداد دایره‌ها بین خط یکُم و دوم، و الی آخر. خب تعداد این چینش خط و دایره‌ها هم برابر با انتخاب $n$ تا جا از $n+(m-1)$ جا برای دایره‌ها و هر چه بماند هم خط، یا برعکس انتخاب $m-1$ جا از $n+(m-1)$ جا برای خط‌ها و هر چه ماند برای دایره‌ها است، نه؟ و در اینجا خط‌ها با هم تفاوتی ندارند همه مرز شمرده می‌شوند، دایره‌ها هم فرقی با هم ندارند.

Answer 2

اول فیزیک هارو می چینیم ۴!

این شکلی میشه:

@ کتاب @ کتاب @ کتاب @ کتاب @

(@ ها جای خالی هست)

پنج تا جا داریم که میتونیم ۳ تا شیمی رو بذاریم اونجا و بینشون حد اقل یک کتاب فاصله باشه

انتخاب ۳ از ۵

۳! هم جایگشتش میدیم حالا تعداد حالات یکی در میان

فیزیک شیمی فیزیک شیمی فیزیک شیمی فیزیک

۴! برای فیزیک ها و ۳! برای شیمی ها

تقسیم کنیم میشه یک دهم یا ۱۰٪