@rafig256 در واقع فرمولی هست که در درس ریاضیاتگسستهٔ پیشدانشگاهی (دستکم زمان ما) بود. تعداد پاسخهای صحیحِ نامنفی برای برابریِ $x_1+\dots+x_m=n$ برابر با $\binom{m+n-1}{n}$ است که خب با $\binom{m+n-1}{m-1}$ هم برابر است. اثباتش هم ساده بود. $n$ تا دایره و $m-1$ خط در نظر بگیرید. در واقع پخشکردن $n$ تا دایره در $m$ جایگاه برابر با چیدن $m-1$ خط در لابلای (با شمول ابتدا و انتها) این دایرههاست. مثلا $oo|||$ را میتوانید $(2,0,0,0)$ بخوانید و $o||o|$ را $(1,0,1,0)$ بخوانید. یعنی تعداد دایرههای گذاشته شده در جایگاه نخست تعداد دایرهها پیش از خط یکُم، تعداد دایرهها در جایگاه دوم برابر تعداد دایرهها بین خط یکُم و دوم، و الی آخر. خب تعداد این چینش خط و دایرهها هم برابر با انتخاب $n$ تا جا از $n+(m-1)$ جا برای دایرهها و هر چه بماند هم خط، یا برعکس انتخاب $m-1$ جا از $n+(m-1)$ جا برای خطها و هر چه ماند برای دایرهها است، نه؟ و در اینجا خطها با هم تفاوتی ندارند همه مرز شمرده میشوند، دایرهها هم فرقی با هم ندارند.
