آیا برای هر عدد طبیعی غیر از مضارب 10 مانند n، می توان مضربی از n یافت بطوریکه تنها با ارقام 5 و 6 نوشت؟

Question

در پست https://math.irancircle.com/14200 ثابت شد که هر عدد طبیعی مضربی دارد که تنها از ارقام 0 و 1 تشکیل شده است. برایم مطرح شد که با ارقام دیگر چنین حالتی وجود دارد، واضح است که هر عدد طبیعی تنها با دو رقم 0 بهمراه یک رقم غیر صفر امکان پذیر است با همان شیوه پست بالا قابل حل است اما متوجه شدم با دو رقم غیر از 0 و 5 چنین حالتی وجود ندارد چون مثلا عدد 5(یا مضارب5) را نمی توان با دو رقم غیر از 0 و 5 نوشت زیرا رقم یکان مضرب 5 یا 0 یا 5 می باشه .همچنین بادو رقم فرد (یا دو رقم زوج غیر 0) هم ممکن نیست اما مسئله ام این است که

آیا برای هر عدد طبیعی غیر از مضارب 10 مانند n, می توان مضربی از n یافت بطوریکه تنها با دو رقم 5 و یک رقم زوج غیر صفر مثلا رقم 6 نوشت؟

جواب این سوال با مثال نقض داده شد برای همین سوالم به صورت زیر ویرایش می کنم

آیا برای هر عدد طبیعی غیر از مضارب 5 مانند n, می توان مضربی از n یافت بطوریکه تنها با دو رقم 5 و یک رقم زوج غیر صفر مثلا رقم 6 نوشت؟

Comments

@amir7788 جملهٔ «اما متوجه‌شدم با دو رقم غیر از ۰ و ۵ چنین حالتی وجود ندارد» نادرست است چون همان حالت «۰ و ۱» یک حالت غیر از «۰ و ۵» است.

---

Amirhosein@منظور از  «دو رقم غیراز 0 و 5» این است که هیچ کدام از رقم‌های 0 و 5 نداشته باشه ممکن نیست. بعبارتی حداقل یکی از ارقام باید 0 یا 5 باشه.

---

@amir7788 پس منظورتان «دو رقم که هیچ یک از آنها ۰ یا ۵ نباشد» است. خیلی هم خوب.

Answer 1

مثال نقض: عدد ۲۵ مضرب ۱۰ نیست ولی هیچ مضربی که تنها رقم‌های ۵ و ۶ داشته‌باشد ندارد.

اثبات: مضرب‌های ۲۵ دو رقم سمت راست‌شان تنها یکی از چهار حالتِ ۰۰ یا ۲۵ یا ۵۰ یا ۷۵ می‌توانند باشند که هر چهار حالت دست کم یک عضو بیرون از مجموعهٔ دوعضویِ $\lbrace 5,6\rbrace$ دارند.

Comments

AmirHosein@برای غیر از مضارب 5 چطور. منظور م این است که در سوال به جای غیر از مضارب 10 غیر از مضارب 5 می نوشتم نتیجه چی می شه؟