Question

برای هر عدد مثبت $x$نشان دهید: $tan^{-1}x + tan^{-1}1/x = π/2$

Comments

نمونه کجاست؟

---

همون معکوس تانژانت اولی (که یک کمی تغییرش دادم تا درست نشان داده بشه)

---

سپاس گزارم

---

@hana
هانا جان اگه پاسخی که دوستان میدن برای شما قابل قبول هست,میتونید با امتیاز دادن ازشون تشکر کنید.

---

چشم رها جان

Answer 1

این سوال صفحه 130 کتاب حسابان است البته با یک کمی تغییر و بنظر بنده این سوال در حد دبیرستان شاید نباشه اما بهر حال بصورت زیر اثبات می شود.

با توجه به تعریف معکوس تانژانت براحتی نشان داده می شود که حاصل عبارت $tan^{-1} (x)+ tan^{-1} ( \frac{1}{x} )$ زاویه ای بین $(0,\pi)$ است. حال قرار میدهیم $tan^{-1} (x)= \alpha$ و$tan^{-1} ( \frac{1}{x} )= \beta$ یعنی ما باید حاصل $\alpha + \beta$ را بیابیم که یک زاویه است از اینکه $tan^{-1} (x)= \alpha$ با توجه به تعریف داریم $tan (\alpha)= x$ از اینکه $tan^{-1} ( \frac{1}{x} )= \beta$ با توجه به تعریف داریم $tan ( \beta)= \frac{1}{x}$ حال بجای $x$ مقدار $tan (\alpha)$ را جایگذاری می کنیم داریم:

$$tan ( \beta)= \frac{1}{ tan (\alpha)} \Rightarrow \frac{ sin ( \beta)}{cos ( \beta)} =\frac{1}{ \frac{ sin (\alpha)}{cos (\alpha)} } \Rightarrow$$ $$\frac{ sin ( \beta)}{cos ( \beta)} = \frac{cos (\alpha)}{sin (\alpha)} \Rightarrow sin ( \beta)sin (\alpha)=cos ( \beta)cos ( \alpha)$$

همانطور که گفته شد ما باید حاصل $\alpha + \beta$ که زاویه است را بیابیم برای این کار ابتدا مقدار $cos( \alpha + \beta )=cos ( \beta)cos ( \alpha)-sin ( \beta)sin (\alpha)$ را می یابیم که با توجه به رابطه بالا برابر صفر است اما تابع کسینوس در $\frac{\pi}{2}$ برابر صفر می شود یعنی $\alpha + \beta= \frac{\pi}{2}$و ثابت شد.

Answer 2

یک روش هندسی برای اثبات این مساله:

در حالت کلی در یک مثلث قائم الزاویه اگر ضلع مقابل یک زاویه حاده برابر $x$ و ضلع مجاور برابر $1$ باشد در ینصورت آن زاویه حاده برابر $\tan^{-1}x$ خواهد بود(چرا؟) و همچنین زاویه حاده دیگر برابر $\tan^{-1}\frac1x$ (چرا؟)

بنابراین از مجموع زوایای داخلی مثلث داریم $\alpha+\beta+\frac\pi2=\pi$ لذا $\alpha+\beta=\frac\pi2$ .