این سوال صفحه 130 کتاب حسابان است البته با یک کمی تغییر و بنظر بنده این سوال در حد دبیرستان شاید نباشه اما بهر حال بصورت زیر اثبات می شود.
با توجه به تعریف معکوس تانژانت براحتی نشان داده می شود که حاصل عبارت $ tan^{-1} (x)+ tan^{-1} ( \frac{1}{x} ) $ زاویه ای بین $ (0,\pi) $ است. حال قرار میدهیم $tan^{-1} (x)= \alpha $ و$ tan^{-1} ( \frac{1}{x} )= \beta $ یعنی ما باید حاصل $ \alpha + \beta $
را بیابیم که یک زاویه است از اینکه $ tan^{-1} (x)= \alpha $ با توجه به تعریف داریم
$ tan (\alpha)= x $ از اینکه $ tan^{-1} ( \frac{1}{x} )= \beta$ با توجه به تعریف داریم
$ tan ( \beta)= \frac{1}{x} $ حال بجای $x$ مقدار $ tan (\alpha) $ را جایگذاری می کنیم داریم:
$$ tan ( \beta)= \frac{1}{ tan (\alpha)} \Rightarrow \frac{ sin ( \beta)}{cos ( \beta)} =\frac{1}{ \frac{ sin (\alpha)}{cos (\alpha)} } \Rightarrow $$
$$ \frac{ sin ( \beta)}{cos ( \beta)} = \frac{cos (\alpha)}{sin (\alpha)} \Rightarrow sin ( \beta)sin (\alpha)=cos ( \beta)cos ( \alpha) $$
همانطور که گفته شد ما باید حاصل $ \alpha + \beta $ که زاویه است را بیابیم برای این کار ابتدا مقدار $cos( \alpha + \beta )=cos ( \beta)cos ( \alpha)-sin ( \beta)sin (\alpha)$ را می یابیم که با توجه به رابطه بالا برابر صفر است اما تابع کسینوس در $ \frac{\pi}{2} $ برابر صفر می شود یعنی $\alpha + \beta= \frac{\pi}{2} $و ثابت شد.
