با داشتن یکی از سه تایی های فیثاغورسی، چگونه دوتای دیگر را پیدا کنیم؟

Question

با داشتن یکی از سه‌تایی‌های فیثاغورسی، مثلاً 6، می‌خواهیم دوتای دیگر را بیابیم.6 را مجذور می‌کنیم، سپس بر 4 تقسیم می‌کنیم. 9 می‌شود، عدد قبل و بعد از 9، یعنی 8 و 10 دو عدد دیگر است. اگر عدد فرد باشد پس از مجذور بر 2 تقسیم می‌کنیم و قسمت اعشاری را حذف می‌کنیم اینک دومی به دست می‌آید، یکی به آن اضافه می‌کنیم عدد سوم پیدا می‌شود. سؤال من این است که آیا در کتابی ثبت‌شده و چرایی این عمل را بگویید.

Answer 1

• با استفاده از اتحاد زیر برای عدد زوج بدست می آید

$$(2k)^2 +(k^2 - 1) ^2 =(k^2 +1)^2$$

بهتر برای حالت زوج مثلا 2k برای بدست آوردن دو تای دیگر اول تقسیم بر 2 کرد k بدست می آیدسپس مجذور کنیم $k^2$ بدست می آید....

برای حالت فرد مثلا 2k+1 برای بدست آوردن عدد دومی داریم

$$[ \frac{(2k+1)^2 }{2}] =2k^2 +2k$$ برای عدد سوم $2k^2 +2k+1$ درستی این هم از اتحاد زیر بدست می آید

اتحاد زیر داریم

$$(2k+1)^2 +(2k^2 +2k)^2 =(2k^2 +2k+1)^2$$

از این مسئله می توان نتیجه گرفت که برای هر عدد طبیعی بزرگتر از 2 ، دو عددطبیعی دیگر وجود دارند که با هم سه تایی فیثاغورس ( با ب.م.م. 1) تشکیل می دهند

Comments

سپاس ،محبت فرمودید.

---

با تشکر .خواستم بدانم با ادبیاتی که من بیان کردم در کتابی ثبت شده است؟

---

صورت مسئله شما به این فرم در جایی ندیدم، می توان نتیجه گرفت که هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 حداقل در یک سه تایی فیثاغوسی وجود دارد یک نوع از سه تایی می‌دهد هر سه تایی شامل آن عدد معرفی نمی کنه.

---

@amir7788 : با درود به دوست و استاد گرامی : چون کوچکترین سه تاییهای ممکن فیثاغورثی عبارتند از:
$3^2+4^2=5^2$
میتوان گفت همه اعداد طبیعی بزرگتر از $2$ در ایجاد اعداد فیثاغورثی سهیم هستند.

Answer 2

@rezasalmanian :

با درود به دوست عزیز و سپاس از سؤال خوبتان: چیزیکه از فرضیات سؤال مشخص است، این است که با عدد معلوم ما اگر زوج باشد، اختلاف دو عدد از معادله سیاله فیثاغورث، $2$ واحد است. و اگر عدد معلوم ما فرد باشد، دو تا از اعداد فیثاغورثی اختلاف $1$ واحدی دارند. حال سؤالی که پیش می آید این است که با این روش چگونه سه تاییهای زیر را بدست بیاوریم؟

$33^2+56^2=65^2$

بیایید سؤال را فرموله کنیم تا ببینیم مشکل کجاست. اگر در معادله سیاله $a^2+b^2=c^2$ عدد زوج معلوم را $a=2n$ فرض کنیم، طبق فرض سؤال، $b=\frac{(2n)^2}{4}-1=n^2-1$ و $c=\frac{(2n)^2}{4}+1=n^2+1$ خواهد بود که حاصل این روش یک اتحاد بشکل زیر است و نه معادله سه مجهولی فیثاغورث.

$(2n)^2+(n^2-1)^2=(n^2+1)^2$

با $a=2n-1$ نیز به اتحاد مشابهی خواهیم رسید و مسلماً با اتحاد تک مجهولی نمیتوان همه جوابهای فیثاغورثی را پیدا کرد. اما بهترین روش را استاد پرویز شهریاری فقید در صفحه ۱۶۱ کتاب سرگرمیهای جبر بشرح زیر توضیح داده که مطالعه تفصیل آنرا بعهده توان حتمی خودتان میسپارم. اگر $m$ و $n$ دو عدد فرد متباین (نسبت بهم اول) باشند، یعنی $(m,n)=1$، و $m>n$ باشد، آنگاه سه تاییهای فیثاغورثی با فرمولهای زیر بگونه ای بدست می آید که دو به دو نسبت بهم اول هستند.

$a=mn$

$b= \frac{m^2-n^2}{2}$

$c= \frac{m^2+n^2}{2}$

که در آن رابطه زیر برقرار است.

$a^2+b^2=c^2$

و با ضرب عددی دلخواه به سه تاییهای بدست آمده، میتوان سه تاییهای جدیدی را بدست آورد که نسبت بهم اول نیستند. مثلاً با $m=3$ و $n=1$، اعداد $a=3$ و $b=4$ و $c=5$ حاصل میشود که با ضرب به $2$ اعداد فیثاغورثی $10,8,6$ بدست می آید.

نکته مهم اینکه در معادلات سیاله سه مجهولی و با داشتن تنها یک معلوم نمیتوان به حل کامل معادله سیاله پرداخت.

با آرزوی موفقیت و تندرستی.

Comments

سپاس بی کران از شما

---

@ناصرآهنگرپور  من در کتابی دیدم که اینگونه هم سه تایی های فیثاغورثی که دوبه دو نسبت به هم اول اند را نشان می دهند:

$a=2mn \space, b=m^2-n^2 \space ,c=m^2+n^2$

که در آنها $(m,n)=1$ و دارای زوجیت متفاوت هستند و $m>n$ می باشد.

---

@elyas1 : با درود به دوست عزیز. کاملاً درسته. در کتاب گزیده هایی از نظریه اعداد، تألیف اویستن اور، ترجمه منوچهر وصال، نشر دانشگاهی، صفحه $53$ شرط دیگری نیز افزوده که در سه تاییهای مذکور در دیدگاه خوبتان، از $m$ و $n$ یکی باید زوج و دیگری باید فرد باشد. روش مذکور در کتاب استاد پرویز شهریاری از این نظر جالبه که هردو مورد از یک جنس هستند. یعنی هردو فرد هستند. با آرزوی موفقیت و سلامتی.

Answer 3

با سلام و احترام یک روش دیگر برای اثبات این الگوریتم برای اعداد زوج این است که فرض کنیم: $a=2k,b= \frac{a^{2} }{4}-1,c=\frac{a^{2} }{4}+1$ باید اثبات کرد که: $a^{2}+b ^{2}=c ^{2}$ حال جای گذاری می کنیم: $a^{2}+b ^{2}= a^{2}+ \big(\frac{a^{2} }{4}-1\big) ^{2}=a^{2}+ \frac{a ^{4}-8a^{2}+16 }{16}= \frac{a ^{4}-8a^{2}+16+16a^{2}}{16}= \frac{a ^{4}+8a^{2}+16}{16}= \frac{(a^{2}+4) ^{2} }{4^{2}}= \big(\frac{a^{2} }{4}+1\big) ^{2}=c^{2}$

بدین ترتیب برای اعداد زوج اثبات می شود.

امّا برای اعداد فرد نیز فرض می کنیم که: $a=2k+1,b= [\frac{a ^{2} }{2}],c=b+1$

برای آنکه $b$ از داخل براکت بیرون آید می توان نوشت: $b= [\frac{a ^{2} }{2}]= [\frac{a ^{2}-1 }{2}+ \frac{1}{2} ]$ از آنجا که $a$ فرد است پس می توان گفت $a ^{2}-1$ حتماً زوج است و بر 2 بخش پذیر است پس حاصل براکت نیز حتماً برابر است با$\frac{a ^{2}-1 }{2}$.

مانند قبل ثابت می کنیم که: $a^{2}+b ^{2}=c ^{2}$

حال جای گذاری می کنیم: $a^{2}+b ^{2}=a^{2}+ \big(\frac{a ^{2}-1 }{2}\big) ^{2}=a^{2}+ \frac{a ^{4}-2a ^{2}+1 }{4}= \frac{a ^{4}-2a ^{2}+1+4a ^{2}}{4}= \frac{a ^{4}+2a ^{2}+1}{4}= \big( \frac{a+1}{2} \big) ^{2}= \big(b+1\big) ^{2}=c ^{2}$