در $(2m-1)x^2+6x+m-2=0$، برای یافتنِ مقادیرِ $m$ که این برابری دو ریشه داشته باشد، باید $\Delta\geq 0$ استفاده کنم یا $\Delta>0$؟

Question

محدوده $m$ را طوری بیابید که معادله درجه دوم زیر دارای 2 ریشه حقیقی باشد.

$$(2m-1)x^2+6x+m-2=0$$

هنگام برقراری شرط دلتا باید $ 0 \leq \Delta $ باشد یا فقط $\Delta >0$؟

Comments

@Ramtin به نظر من سوال باید اشاره کند که «دو ریشه حقیقی متمایز » یا «دو ریشه حقیقی یکسان». ولی چون اشاره نکرده است به نظرم باید دلتا بزرگتر مساوی صفر باشد. البته این نظر من است که ممکن است اشتباه باشد.

---

درود هم نظرم
و به دنبال استدلالی دقیق هستم که خلافش را اثبات کند

---

در یک جهان آرمانی و ادبی فرمایش شما به جاست. ولی وقتی در ریاضی عبارت «دو ریشه حقیقی» ذکر می‌شود، منظور همان «دو ریشه متمایز است» البته از برهان خلف هم میتوان ادبیاتش را متوجه شد. آیا زمانیکه ما یک ریشه مضاعف به دست آورده ایم، «دو ریشه حقیقی» داریم؟ پاسخ من خیر است، پس فرض خلف نادرست است.

---

درود
نمی‌دانم فرق جهان ادبی آرمانی شما با جهان ریاضیات چطور است اما می‌دانم که وقتی ریشه مضاعف بدست می آوریم بله 2 ریشه حقیقی داریم
استدلالم هم بدین صورت است که در معادله ای بفرم $x^2 + 2x - 1$ با اینکه ریشه مضاعف 1- داریم اما جمع ریشه ها $b/2a = - 2$- و این نشان می‌دهد که 2 ریشه حقیقی x=-1 داشته ایم وگرنه چرا جمع آن 2 برابر ریشه شد
اگر استدلال ایرادی دارد لطفا بفرمایید. ممنونم

---

@Ratmin و @Elyas1 زمانی که بدون هیچ صفت و قید بیشتری گفته می‌شود «$n$ ریشه» منظور $n$ ریشهٔ متمایز است. لذا متن پرسش به صورت پیش‌فرض مشکلی ندارد و پاسخ شما می‌شود $\Delta>0$.

---

@Ratmin طبق پاسخی که به دیدگاه‌تان در پست دیگری دادم فرمول جمع ریشه‌ها به این شکل تعبیر نمی‌شود که همواره جمع ریشه‌ها را بدهد. در واقع می‌توانید بگوئید در حال دادنِ جمع وزن‌دار برای ریشه‌ها است که این وزن (ضریب)، چندگانگیِ آن ریشه‌ها است. فقط زمانی‌که چندگانگیِ همهٔ ریشه‌ها یک باشد، آنگاه این فرمول در حالِ دادن جمع معمولیِ ریشه‌ها است.

---

درود
و زمانی که چندگانگی همه ریشه ها 1 نباشد چه چیزی دقیقا به ما می‌دهد؟

---

@Ratmin آیا کل دیدگاه را خواندید؟

---

بله خواندم
میفرمایید که فرمول مذکور بصورت وزن دار جمع رو میده و فقط وقتی که ریشه ها چندگانه هستند جمع معمولی رو میده، اما من نفهمیدم بغیر از جمع معمولی مگه چه چیز دیگری هست خب با ریشه مضاعف هم مجموع معمولی میده، متوجه این قسمت حرفتان نشدم

---

@Ramtin ابتدا اینکه گفتم وقتی چندگانگی‌ها ۱ هستند، یعنی ریشه‌ها ساده هستند، جمع معمولی می‌دهد، نگفتم وقتی با چندگانگی هستند جمع معمولی می‌دهد. به هر حال، معدل وزن‌دار و معدل معمولی را می‌شناسید؟ قبل از انجام دادنِ تقسیم، صورت کسر، جمع معمولی و جمع وزن‌دار هستند. عجب! با ریشه‌های چندگانگی‌دار، جمع معمولی را می‌دهد؟ خیر، فرض کنید سه ریشه دارید، یکی با چندگانگی ۱ و یکی با چندگانگی ۲ و دیگری با چندگانگی ۵. فرمول چه چیزی را می‌دهد؟ خیلی ساده، جمع وزن‌دار این سه ریشه که وزن‌ها چندگانگی‌ها هستند پس حاصل به شما $1(x_1)+2(x_2)+5(x_3)$ را می‌دهد. حالا در حالت معادلهٔ درجهٔ ۲، زمانی که دلتا صفر است، $\frac{-b}{a}$ به شما دو برابرِ تنها ریشهٔ معادله را می‌دهد.

---

بله
این منظور شما از وزن دار بودن ریشه مضاعف فهمیدم منتها :
1) چرا می‌گویید تعبیر درستی نیست که b/a- را جمع ریشه ها بدانیم و بجایش آنرا بگوییم که وزن دار است دلیلش را متوجه نمی‌شوم
2) بفرض که اثبات شد این فرمول میانگین وزنی را می‌دهد، خب انگاه باز هم ایرادش را متوجه نمی‌شوم، انگار که دارد ریشه های مضاعف را جمع میکنه تحویل میده دیگه.

---

@Ratmin ببینید الآن بحث دیگر ریاضی نیست، بحث شده‌است زبان فارسی. وقتی یک چیز را جمع بزنید می‌شود خودش نه دو برابرش. یک معادله که یک ریشه دارد، جمع ریشه‌هایش می‌شود خود آن یک ریشه، حالا اگر ریشه ساده باشد، جمع با احتساب چندگانگی‌اش با جمع عادی‌اش برابر است، اگر ساده نباشد، جمع با احتساب چندگانگی‌اش چند برابرش می‌شود نه خودش! پس چون جمعش خودش بود، و جمع با احتساب چندگانگی خودش نشد، پس جمع با احتساب چندگانگی برابر با جمع معمولی ریشه‌ها نیست!
چرا می‌گوئید «بر فرض که ثابت شد»؟ مگر همان پیوند ویکی‌پدیایی که خودتان در پست دیگری به عنوان اثبات حرف‌تان زدید را دوباره نگاه نکردید که می‌گوید «با احتساب چندگانگی» را قید می‌کند و ادعایی در مورد «همواره جمع ریشه‌ها» نکرده‌است؟ من با چند مثال برایتان توضیح دادم، مثال اعضای خانواده، مثال معدل. ساده‌تر از این؟ پاسخ ابهام‌تان در بحث‌های قبلی که کردیم هست. بیشتر از این نوشتن، تکرار بی‌مورد می‌شود. اگر ابهام دیگری دارید بپرسید.

---

بزرگوار اخه مشکل این است که چیزی مورد بحث است را شما فرض میگیرید می‌گویید معادله که ای که یک ریشه دارد.... خب من در اینجا آن استدلال ها را بردم که بگویم یک ریشه ندارد که 2 ریشه مطابق هم دارد در یک نقطه مماس، دلیلش هم که با بکار بردن فرمول جمع ریشه استدلال کردم، منتها شما الان می‌گویید چون یک ریشه دارد آن فرمول جمع عادی معمولی نمی‌دهد . نشد که. خیلی بحث متأسفانه دور داره میخوره. در گفتگوی قبلی من و شما فقط به این نتیجه رسیدیم که اگر بگویند معادله $X^2+2X-1$ چند ریشه دارد همواره 2 گزاره زیر درست است و هر دو ما هم بر سر درستی آنها توافق داریم :
1) با احتساب ریشه مضاعف 2 ریشه
2) بی احتساب ریشه مضاعف 1 ریشه
اما معلوم نشد که در یک سوال جدید این چنینی که در این لینک مطرح کردم کدام یک از 2 گزاره بالا را باید انتخاب کنیم و چرا.
استاد در چند کامنت بالاتر هم فرمودید که بطور پیش فرض وقتی n ریشه مطرح می‌شود منظور n ریشه متمایز است. اصل بحث هم همین است. کافی است اثبات شود که وقتی چنین چیزی می‌گویند چنان چیزی منظورشان است، آنوقت همه چیز برای طرفین روشن می‌شود. اما چطور با اطمینان میتوانیم بگوییم که منظورش متمایز هاست، خب اگر منظورش متمایز ها بود که ذکر می‌کرد جه بسا اینکه نمونه سوالاتی هم هستند که در آن صریحا کلمه ریشه های متمایز را بیان می‌کند

---

@Ratmin هر دو استدلالی که کردید رد شدند. در هر دو استدلال شما در حال اشتباه بیان کردن مطلب هستید.
۱- منطبق شدن: جملهٔ $x=0$ دو نقطهٔ متمایز است تناقض است! $x=0$ یک نقطه است. جملهٔ $x=0$ دو بار ریشهٔ $(x-1)^2=0$ است، درست است ولی این جمله با جملهٔ $x=0$ دو نقطه‌است هم‌معنا نیست. دیدگاه https://math.irancircle.com/23756/#c23791 را بخوانید. جملهٔ «معادلهٔ پارامتریِ $(x-1)^2=k$ برای $k$های مثبت دو ریشه دارد و با کاهش $k$ این دو ریشه به هم نزدیک می‌شوند و در $k=0$ با هم برخورد و یک ریشه می‌شود» درست است، ولی این اثباتی بر $x=0$ دو نقطه شدن نیست. شما از اولی به ادعای دومی می‌پرید، که این «اثبات‌کردن» نیست. از جملهٔ درستی که در مورد معادلهٔ پارامتری گفته شد نتیجه می‌شود که ریشهٔ $x=0$ برای $(x-1)^2=0$ دارای چندگانگی دو است! درست بیان کردن نیمی از یاد گرفتن است و مشکل خیلی‌ها در یادگیری از درست بیان نکردن ناشی می‌شود.
۲- فرمول $\frac{-b}{a}$: دیدگاه https://math.irancircle.com/23756/#c23793 را بخوانید. شما می‌گوئید گزاره‌ای به این شکل وجود دارد «ثابت شده‌است که فرمول $\frac{-b}{a}$ جمع دو ریشهٔ معادلهٔ درجه دو را می‌دهد بدون هیچ شرط و قدی بیشتری». بعد می‌گوئید به خاطر وجو این فرمول پس همیشه دو نقطهٔ جدا ریشهٔ یک معادلهٔ درجه دو هستند! اصلا معنا دارد این ادعا؟ اولا که گفتنِ «همیشه دو ریشهٔ جدا داشتن» برای معادلهٔ درجه دو نادرست است، پس از اول حکم‌تان اشتباه است. ریشهٔ تکراری به معنای وجود دو ریشهٔ جدا و یکسان نیست، به معنای وجود یک ریشه است که دو مرتبه، دو بار در معادله صدق می‌کند! ولی بگذریم. برویم ببینیم گزاره‌ای که از آن می‌خواهید این حکم نادرست را استنباط کنید اصلا وجود دارد؟ مرجع‌تان را این پیوند داده‌اید https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas در اینجا گزاره به شکلی که شما می‌گوئید نیامده‌است. آمده‌است که ریشه‌ها را به تعداد چندگانگی‌شان تکرار کنیم و بعد جمع کنیم آنگاه فلان فرمول می‌شود. یعنی شکل درست گزاره برای معادلهٔ درجه دو می‌شود «اگر دو ریشه داشت، جمع دو ریشه می‌شود و اگر یک ریشه داشت، دو برابرِ آن ریشه می‌شود».
چند بار برایتان این مطلب را گفتم که دو استدلالتان اشتباه هستند؟ باز برمی‌گردید می‌گوئید اثبات کردید و همان دو مطلب را تکرار می‌کنید؟
پرسش‌کننده نیازی به تأکید متمایز بودن در سوال ندارد و متن پرسش درست است. بلکه اگر شما در حل، حالت یک پاسخ را هم شامل کنید، یک حل اشتباه انجام داده‌اید.

---

@Ramtin لطفاً امتیاز منفی را با دلایلی منطقی بدهید. در پست زیر دلایلی برای دادن امتیاز منفی نوشته شده است.
https://math.irancircle.com/23625/

---

@AmirHosein
درود بر استاد بزرگوار
همه چیز کاملا برایم جا افتاد و اوکی شد و خیلی ممنونم از شما
عالی بود
بله در قسمتی از استدلال از یک مفهوم به مفهوم دیگر اشتباها پرش کرده بودم و همین سبب تفهیم اشتباه مطلب شده بود
فقط در آخر یک سوال برایم می ماند اینکه فرمول مد نظر ما علاوه بر اعداد حقیقی برای مختلط ها هم جواب می‌دهد.
یعنی منظورم این است که شما در آخر صورت درستی از فرمول vieta تبیین کردید  «اگر دو ریشه داشت، جمع دو ریشه می‌شود و اگر یک ریشه داشت، دو برابرِ آن ریشه می‌شود». این کاملا اوکی. اما اگر هیچ ریشه ای نداشت چطور. باز هم این فرمول درست است. اگر میشه لطفا ضمن توضیح این مطلب، گزاره درست قبلی خودتان را یه تعمیم به کلیه حالات معادله درجه 2 بدید که این هم حل شود. ممنون میشوم

---

@Ratmin بله فرمول‌های ویته‌آ همانطور که در پیوند ویکی‌پدیایتان هم می‌بینید برای اعداد مختلط و با احتساب چندگانگی است. یعنی جمع وزن‌دار ریشه‌های مختلط. پس شکل قبلی که در دیدگاه پیشین گفته‌شد برای حالت مختلط بود. حالت حقیقی برای معادلهٔ درجهٔ دو یک شاخهٔ بیشتر هم پیدا می‌کند: «اگر دو ریشهٔ حقیقی داشت، جمع دو ریشه، اگر یک ریشهٔ حقیقی داشت، دو برابرِ آن ریشه، اگر هیچ ریشهٔ حقیقی‌ای نداشت اطلاعاتی پیرامون ریشه‌های حقیقی (که وجود هم ندارند) نمی‌دهد».

---

صحیح که اینطور
البته وقتی میفرمایید اگر هیچ ریشه حقیقی نداشته باشد، همان 2 ریشه مختلط می‌شود که مربوط به حالت قبلش می‌شود. درست است؟

---

@Ratmin بله جمع دو ریشهٔ مختلط می‌شود که مربوط به ریشه‌های حقیقی نیست.

---

احسنت به شما
تشکر فراوان از لطف شما استاد صادقی منش
و همچینین از همه دوستان که همراهی کردند و پاسخ دادند

Answer 1

برای یک برابریِ درجهٔ دو، زمانی که $\Delta=0$، برابری یک ریشه دارید. چیزی که شما را به ابهام انداخته‌است درستش این است که این ریشه دارای چندگانگی است و اگر با چندگانگی‌اش شمرده شود، حاصل عدد ۲ می‌شود. پس تعداد ریشه‌ها ۲ نیست، بلکه جمع چندگانگیِ ریشه‌ها ۲ است. «جملهٔ تعداد ریشه‌ها با احتساب چندگانگی» یعنی جمع چندگانگی ریشه‌ها نه تعداد خود ریشه‌ها. احتساب یعنی شامل‌کردن و شمردن. مانند اینکه بگوئید «تعداد اعضای خانوادهٔ من با احتساب سن‌شان ۱۵۰ می‌شود» یعنی اگر هر فردی را به تعداد سال‌های سنش بشماریم، آنگاه ۱۵۰ خواهد شد، نه اینکه ۱۵۰ نفر در خانواده‌ام هستند.

زمانی که بدون هیچ صفت و قید بیشتری گفته می‌شود «$n$ ریشه» منظور همیشه $n$ ریشهٔ نایکسان، متمایز، است، مگر اینکه خلافش صراحتا در متن اشاره یا قرارداد شده‌باشد. پس پرسش شما به این شکل حل می‌شود. برای اینکه برابریِ آمده در متن پرسش‌تان دو ریشهٔ حقیقی داشته‌باشد، باید نابرابریِ زیر را حل کنیم.

$$\begin{array}{l} 36-4(2m-1)(m-2)>0\\ \Longrightarrow -8m^2+20m+28>0\\ \Longrightarrow -4(m+1)(2m-7)>0\\ \Longrightarrow (m+1)(2m-7)<0\\ \Longrightarrow -1<m<\frac{7}{2} \end{array}$$

Answer 2

اگر دلتا صفر باشد تنها یک ریشه مضاعف خواهیم داشت و طبق فرض سوال نادرست است. پس فقط دلتای مثبت مقبول است که دو ریشه متمایز دارد.

Comments

درود
اگر دلتا صفر باشد 2 ریشه مانند هم داریم (ریشه مضاعف ‌) و باز هم مطابق صورت سوال خواهد شد چون در سوال نگفته دو ریشه حقیقی متمايز.


ایا این استدلال ایرادی دارد؟ممنون میشوم ایرادش را متذکر شوید