چند زیرمجموعه از مجموعهAمی توان نوشت طوری که هر دو زیرمجموعه دلخواه آن حداقل در سه عضو مشترک باشند

Question

حداکثر چند زیرمجموعه از مجموعه $A= \{1,2,3,4,5,6,7,8\} $ می توان نوشت به طوری که هر دو زیرمجموعه دلخواه آن حداقل در سه عضو مشترک باشند.

Comments

سوال ویرایش شد . باید کلمه حداکثر را در سوال قید میکردید .

---

سوال خیلی عالی مطرح شد ارزش امتیاز مثبت بیشتری دازذ.

Answer 1

• واضح است که مجموعه ها حداقل سه عضو دارند تمام حالتها بر اساس وجود کوچکترین مجموعه از لحاظ تعداد عضو بررسی می کنیم.

• حالت اول) کوچکترین مجموعه 3 عضوی باشه مثلا {1,2,3}

  در این صورت تمام مجموعه های دیگر این سه عضو باید داشته باشه تعداد این مجموعه $ 2^5$ یعنی 32 مجموعه می باشد.

• حالت دوم) کو چکترین مجموعه 5عضوی باشه {1,2,3,4،5}

  در این صورت واضح است که هر مجموعه 5 عضوی با هر مجموعه 6 ، 7 و 8 عضوی حداقل در سه عضو مشترکه پس تمام مجموعه های 6،7 و 8 عضوی انتخاب می کنیم اما دو مجموعه 5 عضوی حداقل 2 عضو مشترک داره بنابراین از بین مجموعه های 5 عضوی آنهایی را انتحاب می کنیم که عضو 8 ندارند در این حالت هر دو مجموعه 5 عضوی حداقل در 3 عضو مشترکند در نتیجه داریم $$ \binom{7}{5} + \binom{8}{6} + \binom{8}{7} +\binom{8}{8} $$ $$=21+28+8+1=58 $$

• حالت سوم) کوچکترین مجموعه 4 عضوی باشد مثلا {1,2,3,4} =A

در این صورت . تعداد مجموعه های 5 عضوی که با مجموعه A دقیقا در 3 عضو مشترکند برابر $$ \binom{4}{3} \binom{4}{2} =24 $$ مجموعه های 6 عضوی که با مجموعه A دقیقا در 3 عضو مشترکند برابر $$ \binom{4}{3} \binom{4}{3} =16$$

برای مجموعه های 7 عضوی که با مجموعه A دقیقا در 3 عضو مشترکند برابر 4 بدست می آید. از طرفی تعداد مجموعه هایی که با A دقیقا در A مشترکند 16تاست بنابراین
$$ 24+16+4+16=60$$ این جواب مسئله است. چون در صورت وجود یک مجموعه 4 عضوی دیگر از مجموعه 5 عضوی کاسته می شه. بنابراین حداکثر 60 مجموعه می توان انتخاب کرد.