جواب قسمت الف را می نویسم و بقیه موارد را با به طور مشابه می توانید ثابت کنید .
الف )
ابتدا نشان می دهیم عمل دوتایی تعریف شده روی G بسته است . یعنی نشان می دهیم به ازای هر a \in G و b \in G داریم a \ast b \in G . فرض کنید a,b \in G پس -1 < a < 1 و -1 < b < 1 . چون a < 1 و b-1 < 0 بنابراین a(b-1) > b-1 پس ab-a > b-1 و در نتیجه 1+ab > a+b . از آنجا که -1 < a < 1 و -1 < b < 1 پس ab > -1 . بنابراین 1+ab > 0 . حال طرفین نامساوی را 1+ab > a+b را بر 1+ab تقسیم می کنیم که خواهیم داشت 1 > \frac{a+b}{1+ab} . در نتیجه a \ast b < 1 . با استدلالی مشابه می توان نشان داد -1 < a \ast b. پس a \ast b \in G .
حال نشان می دهیم عمل دوتایی مذکور اشتراک پذیر است یعنی به ازای هر a,b,c \in G داریم :
a \ast (b \ast c)=(a \ast b) \ast c
فرض کنید a,b,c \in G داریم :
a \ast (b \ast c)=a \ast ( \frac{b+c}{1+bc} )= \frac{a+ \frac{b+c}{1+bc} }{1+a( \frac{b+c}{1+bc} )}
= \frac{ \frac{a+abc+b+c}{1+bc} }{ \frac{1+bc+ab+ac}{1+bc} } = \frac{a+abc+b+c}{1+bc+ab+ac}= \frac{(a+b)+c(1+ab)}{(1+ab)+c(a+b)}
= \frac{ \frac{(a+b)+c(1+ab)}{1+ab} }{ \frac{(1+ab)+c(a+b)}{1+ab} } = \frac{ \frac{a+b}{1+ab} +c}{1+c( \frac{a+b}{1+ab} )} = \frac{(a \ast b)+c}{1+c(a \ast b)}
=(a \ast b) \ast c
پس عمل شرکت پذیر است .
حال به دنبال عنصر همانی می گردیم . با کمی دقت می توان به راحتی فهمید عنصر همانی عدد 0 است . زیرا به ازای هر a \in G داریم :
0 \ast a= \frac{0+a}{1+0 \times a}=a
حال نشان می دهیم هر عنصر در G تحت عمل \ast دارای عنصر معکوس است . یعنی نشان می دهیم به ازای هر a \in G عنصر b \in G وجود دارد که a \ast b=0 . اما a \ast b=0 اگر و تنها اگر \frac{a+b}{1+ab} =0 و \frac{a+b}{1+ab} =0 اگر و تنها اگر a+b=0 و a+b=0 اگر و تنها اگر b=-a . بنابراین معکوس هر عنصر همان قرینه آن عنصر است .
بنابراین مجموعه Gتحت عمل دوتایی مذکور یک گروه است .
