جواب قسمت الف را می نویسم و بقیه موارد را با به طور مشابه می توانید ثابت کنید .
الف )
ابتدا نشان می دهیم عمل دوتایی تعریف شده روی $G$ بسته است . یعنی نشان می دهیم به ازای هر $a \in G$ و $b \in G$ داریم $a \ast b \in G$ . فرض کنید $a,b \in G$ پس $-1 < a < 1$ و $-1 < b < 1$ . چون $a < 1$ و $b-1 < 0$ بنابراین $ a(b-1) > b-1$ پس $ab-a > b-1$ و در نتیجه $1+ab > a+b$ . از آنجا که $-1 < a < 1$ و $-1 < b < 1$ پس $ab > -1$ . بنابراین $1+ab > 0$ . حال طرفین نامساوی را $1+ab > a+b$ را بر $1+ab$ تقسیم می کنیم که خواهیم داشت $1 > \frac{a+b}{1+ab} $ . در نتیجه $a \ast b < 1$ . با استدلالی مشابه می توان نشان داد $-1 < a \ast b$. پس $a \ast b \in G$ .
حال نشان می دهیم عمل دوتایی مذکور اشتراک پذیر است یعنی به ازای هر $a,b,c \in G$ داریم :
$$a \ast (b \ast c)=(a \ast b) \ast c$$
فرض کنید $a,b,c \in G$ داریم :
$$a \ast (b \ast c)=a \ast ( \frac{b+c}{1+bc} )= \frac{a+ \frac{b+c}{1+bc} }{1+a( \frac{b+c}{1+bc} )} $$
$$= \frac{ \frac{a+abc+b+c}{1+bc} }{ \frac{1+bc+ab+ac}{1+bc} } = \frac{a+abc+b+c}{1+bc+ab+ac}= \frac{(a+b)+c(1+ab)}{(1+ab)+c(a+b)} $$
$$= \frac{ \frac{(a+b)+c(1+ab)}{1+ab} }{ \frac{(1+ab)+c(a+b)}{1+ab} } = \frac{ \frac{a+b}{1+ab} +c}{1+c( \frac{a+b}{1+ab} )} = \frac{(a \ast b)+c}{1+c(a \ast b)} $$
$$=(a \ast b) \ast c$$
پس عمل شرکت پذیر است .
حال به دنبال عنصر همانی می گردیم . با کمی دقت می توان به راحتی فهمید عنصر همانی عدد $0$ است . زیرا به ازای هر $a \in G$ داریم :
$$0 \ast a= \frac{0+a}{1+0 \times a}=a $$
حال نشان می دهیم هر عنصر در $G$ تحت عمل $ \ast $ دارای عنصر معکوس است . یعنی نشان می دهیم به ازای هر $a \in G$ عنصر $b \in G$ وجود دارد که $a \ast b=0$ . اما $a \ast b=0$ اگر و تنها اگر $ \frac{a+b}{1+ab} =0$ و $ \frac{a+b}{1+ab} =0$ اگر و تنها اگر $a+b=0$ و $a+b=0$ اگر و تنها اگر $b=-a$ . بنابراین معکوس هر عنصر همان قرینه آن عنصر است .
بنابراین مجموعه Gتحت عمل دوتایی مذکور یک گروه است .
