به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
100 بازدید
در دانشگاه توسط saba-m (2 امتیاز)
ویرایش شده توسط کیوان عباس زاده

در هر یک از موارد زیر نشان دهید G با عمل گفته شده یک گروه است: الف) $ a \star b=(a+b)/1+ab $
$ G= {a \in R | -1 < a < 1} $

ب) $a \star b=a+b+ab $
$G=Q -{-1} $

ج) $ (ac,b+d)=(a,b) * (c,d) $ $$ (R- {0} ) \times R $$

توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+1
@reyman چرا فقط یک مورد رو نمی‌پرسید و سپس با پاسخی که می‌گیرید تلاش کنید که دو مورد دیگر را خودتان حل کنید؟ بعلاوه در راهنمای سایت نوشته شده‌است که به تلاش خود اشاره کنید، کجای این متن به تلاش خودتان اشاره کرده‌اید؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده (3,100 امتیاز)
انتخاب شده توسط saba-m
 
بهترین پاسخ

جواب قسمت الف را می نویسم و بقیه موارد را با به طور مشابه می توانید ثابت کنید .

الف )

ابتدا نشان می دهیم عمل دوتایی تعریف شده روی $G$ بسته است . یعنی نشان می دهیم به ازای هر $a \in G$ و $b \in G$ داریم $a \ast b \in G$ . فرض کنید $a,b \in G$ پس $-1 < a < 1$ و $-1 < b < 1$ . چون $a < 1$ و $b-1 < 0$ بنابراین $ a(b-1) > b-1$ پس $ab-a > b-1$ و در نتیجه $1+ab > a+b$ . از آنجا که $-1 < a < 1$ و $-1 < b < 1$ پس $ab > -1$ . بنابراین $1+ab > 0$ . حال طرفین نامساوی را $1+ab > a+b$ را بر $1+ab$ تقسیم می کنیم که خواهیم داشت $1 > \frac{a+b}{1+ab} $ . در نتیجه $a \ast b < 1$ . با استدلالی مشابه می توان نشان داد $-1 < a \ast b$‌. پس $a \ast b \in G$ .

حال نشان می دهیم عمل دوتایی مذکور اشتراک پذیر است یعنی به ازای هر $a,b,c \in G$ داریم :

$$a \ast (b \ast c)=(a \ast b) \ast c$$

فرض کنید $a,b,c \in G$ داریم :

$$a \ast (b \ast c)=a \ast ( \frac{b+c}{1+bc} )= \frac{a+ \frac{b+c}{1+bc} }{1+a( \frac{b+c}{1+bc} )} $$ $$= \frac{ \frac{a+abc+b+c}{1+bc} }{ \frac{1+bc+ab+ac}{1+bc} } = \frac{a+abc+b+c}{1+bc+ab+ac}= \frac{(a+b)+c(1+ab)}{(1+ab)+c(a+b)} $$ $$= \frac{ \frac{(a+b)+c(1+ab)}{1+ab} }{ \frac{(1+ab)+c(a+b)}{1+ab} } = \frac{ \frac{a+b}{1+ab} +c}{1+c( \frac{a+b}{1+ab} )} = \frac{(a \ast b)+c}{1+c(a \ast b)} $$ $$=(a \ast b) \ast c$$

پس عمل شرکت پذیر است .

حال به دنبال عنصر همانی می گردیم . با کمی دقت می توان به راحتی فهمید عنصر همانی عدد $0$ است . زیرا به ازای هر $a \in G$ داریم :

$$0 \ast a= \frac{0+a}{1+0 \times a}=a $$

حال نشان می دهیم هر عنصر در $G$ تحت عمل $ \ast $ دارای عنصر معکوس است . یعنی نشان می دهیم به ازای هر $a \in G$ عنصر $b \in G$ وجود دارد که $a \ast b=0$ . اما $a \ast b=0$ اگر و تنها اگر $ \frac{a+b}{1+ab} =0$ و $ \frac{a+b}{1+ab} =0$ اگر و تنها اگر $a+b=0$ و $a+b=0$ اگر و تنها اگر $b=-a$ . بنابراین معکوس هر عنصر همان قرینه آن عنصر است .

بنابراین مجموعه Gتحت عمل دوتایی مذکور یک گروه است .


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...