Question

چرا توان‌های عدد ۷ به علاوهٔ ۲ بر ۳ بخش پذیرند؟

مثال: $7^2+2$ بر ۳ بخش پذیر است.

به عبارت دیگر:

$$7^{k}+2=3m$$

چرا همیشه برقرار است اگر $k,m\in \mathbb{Z}$؟

Comments

@rezasalmanian اینکه به ذهن خودتان رسیده مرجع نیست، می‌توانید این جمله را در متن بگذارید. بخش مرجع ستاره‌دار نیست که حتما پر شود. اگر مرجعی بود، آنگاه آن را در این بخش بنویسید.

Answer 1

به نام خدا.

می‌دانیم که $7=3(2)+1$. پس:

$7^k=(6+1)^k= \binom{k}{0}6^k+ \binom{k}{1}6^{k-1}+\cdots+ \binom{k}{k} 1 \ \Longrightarrow 7^k+2= \binom{k}{0}6^k+ \binom{k}{1}6^{k-1}+\cdots+ 3\ $

طرف سمت‌ راست بر سه بخش‌پذیر است. پس طرف سمت چپ نیز باید بر سه بخش‌پذیر باشد.

راه دوم استفاده از استقرا:

واضح است که برای $n=1$ حکم برقرار است. فرض کنید برای $n=k$ حکم برقرار باشد. نشان می‌دهیم که برای $n=k+1$ نیز برقرار است. پس:

$7^k+2=3m \Longrightarrow 7^k=3m-2 \Longrightarrow 7^{k+1}=21m-14=21m-12-2 \Longrightarrow 7^{k+1}+2=3(7m-4)=3t$

Comments

تشکر بسیار لطف فرمودید.

---

@rezasalmanian یک راه دیگر به پاسخ افزودم.‌ لطفاً نگاهی بیندازید

---

@rezasalmanian دیدگاه «تشکر» گذاشته‌اید ولی بر روی سه‌گوش رو به بالای سمت راست پاسخ برای امتیاز دادن کلیک نکردید! من می‌خواستم امتیاز بدهم ولی گفتم اول بگذارم عدد امتیاز صفر بماند که مشخص‌تر باشد. در راهنمای سایت نوشته شده‌است که زمانی که فردی به پرسش شما پاسخ داد و مفید بود، به آن امتیاز بدهید و یکی از آنها را به عنوان بهترین پاسخ برگزینید و دیدگاهِ «تشکر» نگذارید. این صفحه از سایت را نگاه کنید https://math.irancircle.com/faq

Answer 2

با درود به دوست گرامی. تعبیر دیگر سؤالتان این است که چرا:

$\text{I})\space7^{k}+2 \stackrel{3}{\equiv} 0$

جواب بسیار ساده است؛ زیرا: $7 \stackrel{3}{\equiv} 1$. درنتیجه همۀ توان‌های $7$ هم‌نهشت $1$ به پیمانه 3 هستند. حال اگر $1$ را به‌جای $ 7^{k} $ در همنهشتی $\text{I})$ قرار دهیم، جواب آشکار می‌شود.

Comments

با عرض پوزش از همراهان گرامی. پاسخ قبلی خود را به اشتباه تبدیل به دیدگاه کردم که مجبور شدم پاسخم را تکرار کنم و پاسخ قبلی خود را که تبدیل به دیدگاه شده بود را پنهان کنم. علت آن کندی load شدن صفحات با سرعت کم اینترنت است که گاهاً باعث پرش صفحه و زدن دکمه غیر دلخواه میشود. امتیاز ازدست رفته من مهم نیست. امیدوارم عذر بنده را بپذیرید.

Answer 3

به نام خدا

ابتدا 7 را به شکل $2\cdot3+1$ بنویسید.

$$(2\cdot 3+1)^k+2=3m$$

عبارت $(2\cdot 3+1)^k$ به ازای $k$-های صحیح، همواره در تقسیم بر 3، باقی‌ماندۀ 1 می‌آورد (به دلیل اینکه اگر در همنهشتی $2\cdot{3}+1 \stackrel{3}{\equiv} 1$، دو طرف را به‌توان $k$ برسانیم، عدد یک تغییری نمی‌کند. در واقع، عدد یک به‌توان هر عدد صحیحی که برسد، برابر با خودش می‌شود) و اگر عبارتی که در تقسیم بر 3، باقی‌ماندۀ 1 می‌آورد را با 2 جمع کنیم، آن عبارت بر 3 بخش‌پذیر می‌شود. پس $(2\cdot3+1)^k+2$ یا همان $7^k+2$ بر 3 بخش‌پذیر است. $\blacksquare$

یعنی توان‌های عدد 7 به علاوۀ 2، بر 3 بخش‌پذیر هستند.

Comments

@Math.Al

با درود به دوست گرامی. اگر $a=2×3$ فرض کنیم، بوضوح $a$ مضرب $3$ خواهد بود، آنگاه طبق بسط دوجمله ای نیوتون، همه جملات بسط پرانتز پاسختان، مضرب $6$ خواهند بود، بغیر از $1$ که با $2$ جمع میشود. بنابراین مجموع کل جملات بصورت $6n+3$ میشود که بوضوح بر 3 بخشپذیر است. استدلالتان کاملاً صحیح است. تندرست و موفق باشید. 1+