مشکلترین قواعد بخش پذیری مربوط به اعداد اول و توانهای آنهاست. مثلاً برای بخشپذیری عدد ۶ کار بسیار راحت است. عددی که بر ۳ و ۲ بخشپذیر باشد بر ۶ هم بخشپذیر است. برای اعداد اول یکی از روشها استفاده از همنهشتی است که درباره اعدادی که مضربشان به توانهای ۱۰ نزدیک است کاربرد مفیدی دارد. مثلاً برای ۱۱ داریم:
mod( 10^{2},11)=1
چون سمت راست همنهشتی فوق برابر ۱ است میتوان همنهشتی فوق را بصورت زیر نیز نوشت.
mod( 10^{2n},11)=1
مفهوم همنهشتی فوق این است که اگر عددی را از سمت راست دورقم به دو رقم باهم جمع کنیم و آنقدر به این کار ادامه دهیم که به مضربی(زیر ۱۰۰) از ۱۱ برسیم، آنگاه آن عدد بر ۱۱ بخشپذیر است. حسن این روش آنجاست که باقیمانده احتمالی را هم بدست میدهد. مثلاً
1771561 \Longrightarrow 61+15+77+1=154 \Longrightarrow 54+1=55 \Longrightarrow mod(1771561,11)=0
برای ۷ داریم:
mod( 10^{3n} ,7)=(-1)^n ; mod( 10^{2} ,7)=2 ; mod( 10^{1} ,7)=3
بنابراین برای آزمون بخشپذیری بر ۷ باید از سمت راست، سه رقم اول منفی و سه رقم بعدی مثبت درنظر بگیریم و با جمع ارقام سه رقمی بصورت منفی و مثبت متناوب به قدرمطلق یک عدد سه رقمی برسیم. سپس با استفاده از همنهشتیهای بعدی عدد سه رقمی آخر \overline{abc} را به این شکل بیازماییم که اگر 2a+3b+c بر ۷ بخشپذیر بود، آنگاه عدد بزرگ ما بر ۷ بخشپذیر خواهد بود. روشهای دیگری در ویکیپدیای فارسی و انگلیسی وجود دارند که خالی از لطف نیست. لینک آنرا برایتان فرستادم. کتاب سرگرمیهای جبر اثر ارزشمند مرحوم پرویز شهریاری و کتاب تئوری اعداد تألیف حسین سیدموسوی و شمس الدین انوار نشر مبتکران (فصل ۳) نیز نکات سودمندی در این مبحث دارند. در سرگرمیهای جبر پرویز شهریاری (ص ۱۲۶) برای بخشپذیری عدد ۱۹ روش جالبی داده شده که با کمی دقت قابل تعمیم به اعداد دورقمی مختوم به ۹ و ۳ است. مثلاً از خواص زیر برای بخشپذیری بر اعداد دورقمی مختوم به ۹ و ۳ میتوان استفاده کرد به شرطی که اعداد داخل پرانتز از ۱۰ بزرگتر نباشند(صرفاً برای سهولت محاسبه).
\overline{a3}=3(3a+1)+a
\overline{a9}=9(a+1)+a
متأسفانه در روش پرویز شهریاری باقیمانده تقسیم قابل محاسبه نیست.
ویکیپدیای فارسی: قواعد بخشپذیری
ویکیپدیای انگلیسی: قواعد بخشپذیری.
