به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
176 بازدید
در دبیرستان توسط mahdiahmadileedari (958 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

قانون‌هایی برای تشخیض بخش‌پذیری بر یک عدد طبیعی که با کمک رقم‌ها گفته می‌شوند را چگونه به دست می‌آورند؟ برای نمونه برای بخش‌پذیری بر ۲ رقم یکان باید زوج باشد، یا برای بخش‌پذیری بر ۳ جمع رقم‌ها باید بر ۳ بخش‌پذیر باشد و الی آخر. چگونه می‌توانم برای یک عدد دلخواه را مثلا ۷ را خودم بدست بیاورم؟

توسط AmirHosein (13,308 امتیاز)
+1
@mahdiahmadileedari برایتان پرسش را ویرایش کردم، نگاه کنید آیا منظورتان این بوده‌است؟
توسط mahdiahmadileedari (958 امتیاز)
+1
منظورم کلی بود.یعنی روابط بخش پذیری را باچه روش هایی پیدا می کنند؟ به نوعی دنبال اثبات آنها هستم. یا روش هایی که بتوان بخش پذیری بر اعداد دلخواهی را یافت.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط ناصر آهنگرپور (743 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

مشکلترین قواعد بخش پذیری مربوط به اعداد اول و توانهای آنهاست. مثلاً برای بخشپذیری عدد ۶ کار بسیار راحت است. عددی که بر ۳ و ۲ بخشپذیر باشد بر ۶ هم بخشپذیر است. برای اعداد اول یکی از روشها استفاده از همنهشتی است که درباره اعدادی که مضربشان به توانهای ۱۰ نزدیک است کاربرد مفیدی دارد. مثلاً برای ۱۱ داریم: $mod( 10^{2},11)=1$

چون سمت راست همنهشتی فوق برابر ۱ است میتوان همنهشتی فوق را بصورت زیر نیز نوشت.

$mod( 10^{2n},11)=1$

مفهوم همنهشتی فوق این است که اگر عددی را از سمت راست دورقم به دو رقم باهم جمع کنیم و آنقدر به این کار ادامه دهیم که به مضربی(زیر ۱۰۰) از ۱۱ برسیم، آنگاه آن عدد بر ۱۱ بخشپذیر است. حسن این روش آنجاست که باقیمانده احتمالی را هم بدست میدهد. مثلاً

$1771561 \Longrightarrow 61+15+77+1=154 \Longrightarrow 54+1=55 \Longrightarrow mod(1771561,11)=0$

برای ۷ داریم:

$mod( 10^{3n} ,7)=(-1)^n$ ; $mod( 10^{2} ,7)=2$ ; $mod( 10^{1} ,7)=3 $

بنابراین برای آزمون بخشپذیری بر ۷ باید از سمت راست، سه رقم اول منفی و سه رقم بعدی مثبت درنظر بگیریم و با جمع ارقام سه رقمی بصورت منفی و مثبت متناوب به قدرمطلق یک عدد سه رقمی برسیم. سپس با استفاده از همنهشتیهای بعدی عدد سه رقمی آخر $ \overline{abc}$ را به این شکل بیازماییم که اگر $2a+3b+c$ بر ۷ بخشپذیر بود، آنگاه عدد بزرگ ما بر ۷ بخشپذیر خواهد بود. روشهای دیگری در ویکیپدیای فارسی و انگلیسی وجود دارند که خالی از لطف نیست. لینک آنرا برایتان فرستادم. کتاب سرگرمیهای جبر اثر ارزشمند مرحوم پرویز شهریاری و کتاب تئوری اعداد تألیف حسین سیدموسوی و شمس الدین انوار نشر مبتکران (فصل ۳) نیز نکات سودمندی در این مبحث دارند. در سرگرمیهای جبر پرویز شهریاری (ص ۱۲۶) برای بخشپذیری عدد ۱۹ روش جالبی داده شده که با کمی دقت قابل تعمیم به اعداد دورقمی مختوم به ۹ و ۳ است. مثلاً از خواص زیر برای بخشپذیری بر اعداد دورقمی مختوم به ۹ و ۳ میتوان استفاده کرد به شرطی که اعداد داخل پرانتز از ۱۰ بزرگتر نباشند(صرفاً برای سهولت محاسبه).

$\overline{a3}=3(3a+1)+a$

$\overline{a9}=9(a+1)+a$

متأسفانه در روش پرویز شهریاری باقیمانده تقسیم قابل محاسبه نیست.

ویکیپدیای فارسی: قواعد بخشپذیری

ویکیپدیای انگلیسی: قواعد بخشپذیری.

توسط mahdiahmadileedari (958 امتیاز)
+2
ناصر آهنگرپور@
ضمن عرض خداقوت ممنون میشم اگر راههایی که این قوانین از آن بدست می آیند را بفرمایید. منظورم بیان قوانین نیست.
توسط ناصر آهنگرپور (743 امتیاز)
+2
@mahdiahmadileedari : همانطور که نوشتم، مقاله ها و کتب معتبر با اثبات قضایای زیبایی با مثال در این رابطه بدستم رسیده که پس از تلخیص و ترجمه تکمیل نموده و در اختیار دوستان قرار خواهم داد و البته با ذکر منبع. این سؤال سبب خیر شد و باعث شد بنده نیز از اثبات مطالب ارزنده ای بهره مند شوم.با آرزوی تندرستی.
توسط ناصر آهنگرپور (743 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@mahdiahmadileedari : با درود به دوست گرامی: درباره این مبحث بلاگی در دو بخش به سایت ارسال کردم که امیدوارم مفید واقع شود. قریب به اتفاق قواعد بخشپذیری با همنهشتی ثابت میشود که یادگیری آن چندان سخت نیست. با آرزوی موفقیت و تندرستی.
https://math.irancircle.com/blog/352/
https://math.irancircle.com/blog/353/
توسط Math.Al (390 امتیاز)
+1
@ناصر آهنگرپور ، بادرود و ممنون از زحمات‌تان.
بنده نیز بلاگی در این مورد نوشته‌بودم (https://math.irancircle.com/blog/326/) که در انتهای آن از یک‌راه زیبای جبری برای اثبات قواعد بخش‌پذیری و پیدا کردن آن‌ها استفاده کرده‌بودم. مطالعه آن نیز خالی از لطف نیست.
توسط ناصر آهنگرپور (743 امتیاز)
+1
@Math.Al : با درود به دوست عزیز: بلاگ خوبتان را دیدم و انگیزه بخش خوبی برای تحقیق بیشتر بنده شد. باعث خوشحالیست که با دوستان صمیمی و بامعلوماتی در ارتباط هستم. از مطالب خوبتان تشکر صمیمانه دارم و امید است در تکمیل معلومات یکدیگر کوشا باشیم. با آرزوی موفقیت و تندرستی.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...