حل معادله $[ \frac{ax+b}{cx+d} ]=mx+n$

Question

حل كلي معادلات به صورت زير...؟

$$[ \frac{ax+b}{cx+d} ]=mx+n$$

Comments

ایا ضرایب اعداد صحیح هستند؟

Answer 1

اگر $ m=0 $ آنگاه جواب برابر حل نامعادله ی$ n \leq \frac{ax+b}{cx+d} < n+1 $ است اما اگر $m \neq 0 $ باشد آنگاه از آنجایی که $[ \frac{ax+b}{cx+d} ]$ صحیح است لذا باید $ mx+n $ نیز صحیح باشد و چون ضرایب صحیح هستند لذا خود $ x$ باید صحیح باشد.

میدانیم همواره $0 \leq x-[x] < 1$ پس $ 0 \leq \frac{ax+b}{cx+d}-[ \frac{ax+b}{cx+d} ] < 1$ ولی طبق فرض $[ \frac{ax+b}{cx+d} ]=mx+n$ است پس داریم $ 0 \leq \frac{ax+b}{cx+d}-(mx+n) < 1$

حال کافیست جوابهای صحیح این نامعادله را بیابیم تا جواب مساله بدست آید.