حل معادله $[ \frac{ax+b}{cx+d} ]=mx+n$

Question

حل كلي معادلات به صورت زير...؟

$$[ \frac{ax+b}{cx+d} ]=mx+n$$

Comments

ایا ضرایب اعداد صحیح هستند؟

Answer 1

اگر $m=0$ آنگاه جواب برابر حل نامعادله ی$n \leq \frac{ax+b}{cx+d} < n+1$ است اما اگر $m \neq 0$ باشد آنگاه از آنجایی که $[ \frac{ax+b}{cx+d} ]$ صحیح است لذا باید $mx+n$ نیز صحیح باشد و چون ضرایب صحیح هستند لذا خود $x$ باید صحیح باشد.

میدانیم همواره $0 \leq x-[x] < 1$ پس $0 \leq \frac{ax+b}{cx+d}-[ \frac{ax+b}{cx+d} ] < 1$ ولی طبق فرض $[ \frac{ax+b}{cx+d} ]=mx+n$ است پس داریم $0 \leq \frac{ax+b}{cx+d}-(mx+n) < 1$

حال کافیست جوابهای صحیح این نامعادله را بیابیم تا جواب مساله بدست آید.