حل معادلات به صورت $[ \frac{dx+e}{f} ]= \frac{ax+b}{c}$

Question

حل كلي معادلات به صورت زير رو ميخواستم..ممنون..

$$[ \frac{ax+b}{c} ]= \frac{dx+e}{f}$$

Comments

ایا ضرایب اعداد صحیح هستند؟

---

@erfanm
بله

Answer 1

اگر $d=0$ آنگاه باید $e$ مضربی از $f$ باشد و جواب برابر حل $k= \frac{e}{f} \leq \frac{ax+b}{c} < k+1$ است.

اگر $d \neq 0$ چون $[ \frac{ax+b}{c} ]$ عددی صحیح است لذا باید $\frac{dx+e}{f}$ عددی صحیح باشد یعنی $\frac{dx+e}{f}=k$ پس $dx+e=fk$ یعنی $dx+e$ صحیح است پس باید $x$صحیح و به گونه ای باشد که $\frac{dx+e}{f}$ صحیح شود.

برای حل میدانیم همواره $0 \leq x-[x] < 1$ پس $0 \leq \frac{ax+b}{c} -[ \frac{ax+b}{c} ] < 1$ ولی طبق فرض $[ \frac{ax+b}{c} ]= \frac{dx+e}{f}$ است پس داریم $0 \leq \frac{ax+b}{c} -\frac{dx+e}{f} < 1$ با حل آن بازه ای برای $x$ بدست می آید که اعداد صحیحی که باعث شوند $\frac{dx+e}{f}$ صحیح شود جواب مساله هستند.