براي حل معادلات به صورت زير$$[x]+[ax]+[bx]+[cx]=k$$
داريم$$ x=n+p, 0 \leq p < 1 \Rightarrow [p]=0$$
$$ax=an+ap,0 \leq ap < a \Rightarrow [ap]=0, \pm 1, \pm 2,...,(a-1),a$$
$$bx=bn+bp,0 \leq bp < b \Rightarrow [bp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(b-1),b$$
$$cx=cn+cp,0 \leq cp < c \Rightarrow [cp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(c-1),c$$
حال جايگذاري ميكنيم
$$[x]+[ax]+[bx]+[cx]=k \Rightarrow\ [n+p]+[an+ap]+[bn+bp]+[cn+cp]=k$$
$$ \Rightarrow (n+[p])+(an+[ap])+(bn+[bp])+(cn+[cp])=k$$
$$ \Rightarrow (n+an+bn+cn)+([p]+[ap]+[bp]+[cp])=k$$
$$ \Rightarrow n(1+a+b+c)+([p]+[ap]+[bp]+[cp])=k$$
$$ \Rightarrow n(1+a+b+c)=k-([p]+[ap]+[bp]+[cp])$$
$$n= \frac{k-([p]+[ap]+[bp]+[cp])}{1+a+b+c},([p]=0) $$
$$n= \frac{k-([ap]+[bp]+[cp])}{1+a+b+c} $$
$[ap]=0, \pm 1, \pm 2,...,(a-1),a$
$[bp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(b-1),b$
$[cp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(c-1),c$
$$ \begin{cases}min([ap]+[bp]+[cp]) =(0)+(0)+(0)=0& \max([ap]+[bp]+[cp]) =(a-1)+(b-1)+(c-1)=(a+b+c-3)& \end{cases} $$
بنابراين اعدادي صحيحي كه در فاصله ي$[0,a+b+c-3]$ از $k$كم شوند ومضرب صحيحي از$(a+b+c+1)$باشند جواب مساله است به عبارت ديگر:
باتوجه به اينكه $n \in Z$مي باشد بنابراين$(1+a+b+c) \mid k-([ap]+[bp]+[cp])$
حال مثال زير را حل ميكنيم$$[x]+[2x]+[4x]=15$$
$a=2,b=4,k=15$
$$n= \frac{k-([2p]+[4p])}{a+b+1} \Rightarrow n= \frac{15-([2p]+[4p])}{7} $$
$min([4p]+[2p])=0$
$max([2p]+[4p])=(2-1)+(4-1)=4$
حال بايد اعداد صحيحي كه در بازه ي $[0,4]$قرار دارندرو پيدا كنيم طوري كه از $15$كم شوند ومضرب صحيحي از$7$باشند
كه در نتيجه فقط$(1)$ميتواند باشد.
بنابراين داريم$$[2p]+[4p]=1 \in [0,4] \Rightarrow n= \frac{15-1}{7} =2$$
حال ما $(n=2)$ بدست آورديم وكافي است كه محدوده ي$p$ را هم بدست بيا وريم تا محدوده ي $x$مشخص شود. ;كه براي اين كار داريم
$$[2p]+[4p]=1$$
در اين صورت دو حالت پيش مي آيد.
حالت اول:$$[2p]=0 \rightarrow 0 \leq 2p < 1 \Rightarrow 0 \leq p < \frac{1}{2} $$
$$[4p]=1 \rightarrow 1 \leq 4p < 2 \Rightarrow \frac{1}{4} \leq p < \frac{1}{2} $$
$$p \in [0, \frac{1}{2} ) \cap [ \frac{1}{4} , \frac{1}{2} )=[ \frac{1}{4} , \frac{1}{2} )$$
$$ \frac{1}{4} \leq p < \frac{1}{2} \Rightarrow n+ \frac{1}{4} \leq n+p < n+ \frac{1}{2} $$
$$n+p=x,(n=2) \Rightarrow 2+ \frac{1}{4} \leq x < 2+ \frac{1}{2} $$
$$ \frac{9}{4} \leq x < \frac{5}{2} $$
حالت دوم:$$[2p]=1 \rightarrow 1 \leq 2p < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq p< 1$$
$$[4p]=0 \rightarrow 0 \leq 4p < 1 \Rightarrow 0 \leq p \leq \frac{1}{4} $$
$$p \in [ \frac{1}{2} , 1 ) \cap [ 0 , \frac{1}{4} )= \oslash $$
بنابراين چون اشتراكي بين حالت دوم نيست جواب معادله برابر است با حالت اول يعني$$ \frac{9}{4} \leq x < \frac{5}{2} $$
