براي حل معادلات به صورت زير[x]+[ax]+[bx]+[cx]=k
داريم x=n+p, 0 \leq p < 1 \Rightarrow [p]=0
ax=an+ap,0 \leq ap < a \Rightarrow [ap]=0, \pm 1, \pm 2,...,(a-1),a
bx=bn+bp,0 \leq bp < b \Rightarrow [bp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(b-1),b
cx=cn+cp,0 \leq cp < c \Rightarrow [cp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(c-1),c
حال جايگذاري ميكنيم
[x]+[ax]+[bx]+[cx]=k \Rightarrow\ [n+p]+[an+ap]+[bn+bp]+[cn+cp]=k
\Rightarrow (n+[p])+(an+[ap])+(bn+[bp])+(cn+[cp])=k
\Rightarrow (n+an+bn+cn)+([p]+[ap]+[bp]+[cp])=k
\Rightarrow n(1+a+b+c)+([p]+[ap]+[bp]+[cp])=k
\Rightarrow n(1+a+b+c)=k-([p]+[ap]+[bp]+[cp])
n= \frac{k-([p]+[ap]+[bp]+[cp])}{1+a+b+c},([p]=0)
n= \frac{k-([ap]+[bp]+[cp])}{1+a+b+c}
[ap]=0, \pm 1, \pm 2,...,(a-1),a
[bp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(b-1),b
[cp]=0, \pm 1, \pm 2,...,(c-1),c
\begin{cases}min([ap]+[bp]+[cp]) =(0)+(0)+(0)=0& \max([ap]+[bp]+[cp]) =(a-1)+(b-1)+(c-1)=(a+b+c-3)& \end{cases}
بنابراين اعدادي صحيحي كه در فاصله ي[0,a+b+c-3] از kكم شوند ومضرب صحيحي از(a+b+c+1)باشند جواب مساله است به عبارت ديگر:
باتوجه به اينكه n \in Zمي باشد بنابراين(1+a+b+c) \mid k-([ap]+[bp]+[cp])
حال مثال زير را حل ميكنيم[x]+[2x]+[4x]=15
a=2,b=4,k=15
n= \frac{k-([2p]+[4p])}{a+b+1} \Rightarrow n= \frac{15-([2p]+[4p])}{7}
min([4p]+[2p])=0
max([2p]+[4p])=(2-1)+(4-1)=4
حال بايد اعداد صحيحي كه در بازه ي [0,4]قرار دارندرو پيدا كنيم طوري كه از 15كم شوند ومضرب صحيحي از7باشند
كه در نتيجه فقط(1)ميتواند باشد.
بنابراين داريم[2p]+[4p]=1 \in [0,4] \Rightarrow n= \frac{15-1}{7} =2
حال ما (n=2) بدست آورديم وكافي است كه محدوده يp را هم بدست بيا وريم تا محدوده ي xمشخص شود. ;كه براي اين كار داريم
[2p]+[4p]=1
در اين صورت دو حالت پيش مي آيد.
حالت اول:[2p]=0 \rightarrow 0 \leq 2p < 1 \Rightarrow 0 \leq p < \frac{1}{2}
[4p]=1 \rightarrow 1 \leq 4p < 2 \Rightarrow \frac{1}{4} \leq p < \frac{1}{2}
p \in [0, \frac{1}{2} ) \cap [ \frac{1}{4} , \frac{1}{2} )=[ \frac{1}{4} , \frac{1}{2} )
\frac{1}{4} \leq p < \frac{1}{2} \Rightarrow n+ \frac{1}{4} \leq n+p < n+ \frac{1}{2}
n+p=x,(n=2) \Rightarrow 2+ \frac{1}{4} \leq x < 2+ \frac{1}{2}
\frac{9}{4} \leq x < \frac{5}{2}
حالت دوم:[2p]=1 \rightarrow 1 \leq 2p < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq p< 1
[4p]=0 \rightarrow 0 \leq 4p < 1 \Rightarrow 0 \leq p \leq \frac{1}{4}
p \in [ \frac{1}{2} , 1 ) \cap [ 0 , \frac{1}{4} )= \oslash
بنابراين چون اشتراكي بين حالت دوم نيست جواب معادله برابر است با حالت اول يعني \frac{9}{4} \leq x < \frac{5}{2}
