تعریف همارزی حدی را به یاد آورید.
- همارزی حدی دو تابع
- دو تابعِ $f(x)$ و $g(x)$ را در نقطهٔ $x=x_0$ که $x_0\in\mathbb{R}\cup\lbrace\pm\infty\rbrace$، همارز حدی گوئیم هر گاه داشتیه باشیم $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$.
توجه کنید که اینکه کدام تابع در صورت باشد تفاوتی ایجاد نمیکند چون این رابطه، یک رابطهٔ همارزی و در نتیجه تقارنی است. بعلاوه توجه کنید که دو تابع که در یک نقطه همارز حدی هستند، الزامی ندارد در نقطهٔ دیگری هم همارز حدی باشند، پس زمانی که پیرامون همارزیِ حدی دو تابع صحبت میکنیم مهم است که به نقطهٔ مورد نظر اشاره کنیم.
برگردیم سراغ پرسش اصلی. برای اینکه به مشکل زوج و فردی $n$ برنخوریم فرض کنیم منظورتان حد در $+\infty$ است. برای $-\infty$ با همین روش زمانی که $n$ فرد است نتیجهٔ یکسانی داریم. برای $n$ زوج از یک قدرمطلق استفاده کنید.
ادعا میکنیم که در $x\to\infty$ داریم $\sqrt[n]{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0}\sim (\sqrt[n]{a_n})x$. پس باید رابطهٔ تعریف همارزی را برایش ثابت کنیم و گر نه ادعایمان بیاساس است.
\begin{align}
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[n]{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0}}{\sqrt[n]{a_n}x} &= \lim_{x\to\infty}\sqrt[n]{\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0}{a_nx^n}}\\
&= \lim_{x\to\infty}\sqrt[n]{\frac{a_n}{a_n}\frac{x^n}{x^n}+\frac{a_{n-1}}{a_n}\frac{x^{n-1}}{x^n}+\dots+\frac{a_0}{a_n}\frac{1}{x^n}}\\
&= \lim_{x\to\infty}\sqrt[n]{1+\frac{a_{n-1}}{a_n}\frac{1}{x}+\dots+\frac{a_0}{a_n}\frac{1}{x^n}}\\
&=\sqrt[n]{1+\frac{a_{n-1}}{a_n}\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}+\dots+\frac{a_0}{a_n}\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^n}}\\
&= \sqrt[n]{1}\\
&= 1
\end{align}
