چرا هم ارزی برنولی برای حد در بینهایت $(1+\frac{1}{x})^x$ جواب نمیدهد ولی برای $(1+\frac{1}{x^2})^x$ جواب میدهد؟

Question

چرا هم‌ارزی برنولی برای حد در بی‌نهایتِ عبارتِ یکُم جواب نمی‌دهد ولی برای عبارت دوم می‌دهد؟ $$(1+\frac{1}{x})^x$$ $$(1+\frac{1}{x^2})^x$$

Answer 1

از یک هم‌ارزی تنها به شکلی که معرفی شده می‌توانید استفاده کنید. پس نخست باید به یاد آورید که متن دقیق هم‌ارزی برنولی چه بود. هم‌ارزی برنولی از بسط تیلور تابعِ $(1+x)^r$ که $r$ عدد حقیقی دلخواه (ثابت) است، پیرامون (حول) نقطهٔ $x=0$ استفاده می‌کرد! $$(1+x)^r= (1+x)^r\mid_{x=0}+\Big((1+x)^r\Big)'_{x}\mid_{x=0}(x-0)+\mathcal{O}((x-0)^2)$$ که چون مشتق $(1+x)^r$ نسبت به $x$ برابر است با $r(1+x)^{r-1}$، پس از جایگذاری‌های $x=0$ در $(1+x)^r$ و مشتقش داریم: $$(1+x)^r= 1+rx+\mathcal{O}(x^2)$$ که اگر $x$ به اندازهٔ کافی به صفر نزدیک باشد آنگاه حاصل نیز به اندازهٔ کافی به تقریب $1+rx$ نزدیک خواهدشد.

اکنون به سراغ پرسش شما برویم، درست است که وقتی که $x$ به بینهایت میل می‌کند وارونش و یا مجذور وارونش به صفر میل می‌کند (در نتیجه می‌خواهید با تغییر متغیر از برنولی استفاده کنید) ولی توان عبارت‌تان یک عدد ثابت نیست! وقتی $x$ در حال تغییر (میل کردن) است، توان‌تان هم در حال تغییر (میل کردن) است! در نتیجه شرایط استفاده از هم‌ارزی برنولی را ندارید. اگر هم در حالتی حاصل با حاصل عبارت برنولی یکی شد، دلیلش به خاطر هم‌ارزی برنولی نیست بلکه دلیل دیگری داشته که باید ثابت کنید.