به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
102 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط s.j.sss (93 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

چرا هم‌ارزی برنولی برای حد در بی‌نهایتِ عبارتِ یکُم جواب نمی‌دهد ولی برای عبارت دوم می‌دهد؟ $$(1+\frac{1}{x})^x$$ $$(1+\frac{1}{x^2})^x$$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (9,567 امتیاز)
انتخاب شده توسط s.j.sss
 
بهترین پاسخ

از یک هم‌ارزی تنها به شکلی که معرفی شده می‌توانید استفاده کنید. پس نخست باید به یاد آورید که متن دقیق هم‌ارزی برنولی چه بود. هم‌ارزی برنولی از بسط تیلور تابعِ $(1+x)^r$ که $r$ عدد حقیقی دلخواه (ثابت) است، پیرامون (حول) نقطهٔ $x=0$ استفاده می‌کرد! $$(1+x)^r= (1+x)^r\mid_{x=0}+\Big((1+x)^r\Big)'_{x}\mid_{x=0}(x-0)+\mathcal{O}((x-0)^2)$$ که چون مشتق $(1+x)^r$ نسبت به $x$ برابر است با $r(1+x)^{r-1}$، پس از جایگذاری‌های $x=0$ در $(1+x)^r$ و مشتقش داریم: $$(1+x)^r= 1+rx+\mathcal{O}(x^2)$$ که اگر $x$ به اندازهٔ کافی به صفر نزدیک باشد آنگاه حاصل نیز به اندازهٔ کافی به تقریب $1+rx$ نزدیک خواهدشد.

اکنون به سراغ پرسش شما برویم، درست است که وقتی که $x$ به بینهایت میل می‌کند وارونش و یا مجذور وارونش به صفر میل می‌کند (در نتیجه می‌خواهید با تغییر متغیر از برنولی استفاده کنید) ولی توان عبارت‌تان یک عدد ثابت نیست! وقتی $x$ در حال تغییر (میل کردن) است، توان‌تان هم در حال تغییر (میل کردن) است! در نتیجه شرایط استفاده از هم‌ارزی برنولی را ندارید. اگر هم در حالتی حاصل با حاصل عبارت برنولی یکی شد، دلیلش به خاطر هم‌ارزی برنولی نیست بلکه دلیل دیگری داشته که باید ثابت کنید.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...