اثبات حد نداشتن $\sin(\frac{1}{x})$

Question

چگونه به روش $ \varepsilon - \delta $ میتوان ثابت کرد که $ \mathop {\lim \sin (\frac{1}{x}}\limits_{x \to 0} )$ وجود ندارد؟

Answer 1

فرض کنید که حد تابع فوق موجود و مقدار آن عدد حقیقی $A$ باشد:

$ \Rightarrow \exists \delta >0: | x |= | x-0 | < \delta \Rightarrow | Sin \frac{1}{x} -A | < \frac{1}{2} $

حالا بنابه خاصیت ارشمیدس:

$ \exists n_0 \in N: \frac{1}{n_0} < \delta \Rightarrow \forall n>n_0: \frac{1}{2 \pi n} \wedge \frac{1}{(2n+ \frac{1}{2} ) \pi } < \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} < \delta $

$ \Rightarrow | Sin \frac{1}{ \frac{1}{2n \pi } }-A| < \frac{1}{2} \wedge |Sin \frac{1}{ \frac{1}{(2n+1) \pi } }-A| < \frac{1}{2} \Rightarrow |0-A| < \frac{1}{2} \wedge |1-A| < \frac{1}{2} $

$ \Rightarrow |A| < 1 \wedge |1-A| < 1 \Rightarrow 1= | 1 | = | A+(1-A) | \leq |A| + |1-A|< \frac{1}{2} + \frac{1}{2} =1 \bot $

و این استدلال نشان میدهد که تابع به هیچ عددی حقیقی همگرا نیست.

با استدلالی مشابه می توان نشان داد که این تابع به $ \infty $ و $- \infty $ هم واگرا نیست.

$ \Box $