اگر فرد $n$اُم، $1000n$ واحد بعلاوهٔ $\frac{1}{9}$ باقیمانده را بردارد تا چیزی نماند و بدانیم همه یکسان دارند، مقدار اولیه و تعداد نفرها را بیابید.

Question

چند نفر مبلغی را بین خودشان تقسیم کردند. اولی 1000 ریال برداشت به‌علاوه یک نهم مانده. دومی 2000 ریال برداشت به‌علاوه یک نهم مانده. و بقیه به همین ترتیب. اگر سهم همه یکسان باشد، مبلغ پول و سهم هر یک و تعداد نفرات را بیابید.

Answer 1

به نام خدا.

فرض کنید که سهم هر نفر $c$ باشد و تعداد تن ها برابر با $k$ باشد. کل پول برابر با $kc$ است. علت هم واضح است مثلاً اگر $2000$ تومان را بین دو نفر تقسیم کنید، به به هر کدام $1000$ تومان می رسد. پس جمع سهم ها برابر با مبلغ کل می شود. حال نفر اول ابتدا $1000$ تومان بر می دارد. پول باقی مانده برابر با $kc-1000$ تومان است. نفر آخر $1000k$ تومان بر می دارد اما نباید پولی بماند. زیرا اگر پولی بماند، یک نهم آن را برداریم هشت نهم می ماند که معلوم نیست این پول برای کیست. پس:

$1000+ \frac{kc -1000}{9} =c$

$1000k=c$

جای‌گذاری می کنیم:

$1000+ \frac{k(1000k)-1000}{9} =1000k \Longrightarrow 9000+ 1000k^2-1000=9000k \Longrightarrow 9+k^2-1=9k \Longrightarrow k^2-9k+8=0 \Longrightarrow (k-1)(k-8)=0$

پس تعداد افراد برابر $8$ تا است. $k=1$ را برای این‌ کنار گذاشتیم چون که سوال گفته چند نفراند. پس $c=8000$ و مبلغ کل $64000$ تومان است.

Answer 2

• این مسئله از آخر حل می کنیم. فرض می کنیم تعداد نفرات k و سهم هر کدام c باشه و قبل از تقسیم آخر n تومن داشته باشیم. پس نفر یکی به آخر یعنی نفر.k-1می آید عمل تقسیم انجام می دهد. $1000(k-1)$ تومن بعلاوه یک نهم باقی مانده را بر می دارد و بقیه به نفر آخر می رسد. پس داریم: $$1000(k-1)+ \frac{n-1000(k-1)}{9} =n-1000(k-1)-\frac{n-1000(k-1)}{9} =c$$ در نتیجه داریم: $$2000(k-1)+ 2\frac{n-1000(k-1)}{9} =n \Rightarrow 16000(k-1)=7n$$ در نتیجه داریمk-1 باید مضرب 7 باشد

$$k=7m+1, n=16000m$$

• در این صورت سهم هر کدام به صورت زیر می باشه $$c=7000m+ \frac{9000m}{9} \Rightarrow c= 8000m$$
• برای نفر آخر داریم $$c=1000k \Rightarrow 8000m=1000(7m+1) \Rightarrow m=1$$ بنابراینm=1 در نتیجه تعداد k=8 نفر و سهم هر کدام c=8000 می باشه.

Comments

@amir7788 سپاسگزارم از پاسخ تان ولی توضیحاتتون سنگین است. ممکنه کمی بیشتر توضیح بدهید. قانع نشدم.

---

برای سادتر شدن ویرایش کردم مهمترین قسمت این است که سهم نفر آخر یعنی kام،  از  n تومن سهم نفر k-1 کم کنیم سپس سهم دو نفر آخر مساوی قرار دهید

Answer 3

بیایید به این پرسش به شکل یک دنباله نگاه کنیم. در حالت کلی مقدار اولیه را $x_0$ نمایش دهید، مقدارِ ثابتی که در اینجا ۱۰۰۰ واحد گرفته‌اید را با $a$ نمایش دهید و نسبتِ ثابتی که در اینجا $\frac{1}{9}$ گرفته‌اید را با $q$. دنبالهٔ $x_n$ را این گونه تعریف کنید که جملهٔ $n$اُم نمایش‌دهندهٔ مقدارِ باقیمانده پس از کاستنِ سهمِ نفرِ $n$اُم از مقدار قبلی باشد. پس $x_0$ یعنی کل مقدار نخستین، $x_1$ یعنی $x_0$ منهای سهم نفر اول، $x_2$ یعنی $x_1$ منهای سهم نفر دوم (که در واقع با مقدار نخستین منهای سهم دو نفر اول و دوم برابر است) و تا آخر. پس این دنباله یک دنبالهٔ بازگشتی است. ضابطهٔ بازگشتیِ آن به شکلِ زیر می‌شود. بعلاوه حواستان باشد که ۱۰۰۰ واحد برای نفر یکُم، ۲۰۰۰ واحد برای نفر دوم، ۳۰۰۰ واحد برای نفر سوم و الی آخر در واقع یعنی $na$ واحد برای نفرِ $n$اُم.

$$x_n=x_{n-1}-na-q(x_{n-1}-na)$$

توجه کنید که اگر تعریف کنیم $c=1-q$ رابطهٔ بالا به شکل زیر ساده‌تر می‌شود.

$$x_n=c(x_{n-1}-na)$$

برای اینکه یک ضابطهٔ نابازگشتی برای این دنباله پیدا کنیم، چند جملهٔ نخستِ آن را می‌نویسیم.

$$\begin{align} x_0 &= x_0\\ x_1 &= c(x_0-a)=cx_0-ca\\ x_2 &= c\big((cx_0-ca)-2a\big)=c^2x_0-c^2a-2ca\\ x_3 &= c\big((c^2x_0-c^2a-2ca)-3a\big)=c^3x_0-c^3a-2c^2a-3ca\\ \vdots \end{align}$$

که الگوی سادهٔ زیر را دارد.

$$x_n=c^na_0-\sum_{i=0}^n(i+1)c^{n-i}a$$

در این ضابطه تنها یک مجهول داریم $x_0$ و یک متغیر $n$. نخستین گام این است که مجهول را پیدا کنیم. $x_0$ همان مقدار نخستین است که یکی از خواسته‌های پرسش است. ولی با بدست آوردن آن در واقع پاسخ سایر قسمت‌های پرسش را هم بدست‌آورده‌ایم. برای نمونه تعداد نفرها برابر است با شمارهٔ جمله‌ای از دنباله که صفر می‌شود.

اما چگونه $x_0$ را بیابیم. پرسش گفته است سهم هر فرد برابر شده‌است، سهم فردِ $n$اُم در واقع برابر با $x_n-x_{n-1}$ است. پس بیاییم برابری (معادله) مربوط به برابر شدن سهم نفر یکُم و نفر دوم را بنویسیم.

$$\begin{align} x_0-x_1=x_1-x_2 &\Longrightarrow \frac{1}{9}x_0-\frac{8000}{9}=\frac{8}{81}x_0-\frac{136000}{81}\\ &\Longrightarrow \frac{1}{81}x_0=\frac{64000}{81}\\ &\Longrightarrow x_0=64000 \end{align}$$

البته بدون بدست‌آوردنِ جملهٔ نابازگشتیِ این دنباله نیز می‌توانستید فقط با نوشتن دو جملهٔ $x_1$ و $x_2$ و ساده کردنشان بر حسب $x_0$ برابریِ $x_0-x_1=x_1-x_2$ را تشکیل و $x_0$ را بدست آورید.

اکنون برای یافتن تعداد نفرها کافی است برابریِ $x_n=0$ را برای متغیر $n$ حل کنیم. اگر به جای بخش زیگما که تعداد جمله‌هایش تغییر می‌کند یک چندجمله‌ای ثابت داشتیم، این کار ساده‌تر بود ولی چون این گونه نیست از روش‌های حل برابری‌های چندجمله‌ای‌ها نمی‌توان استفاده کرد. ساده‌ترین کاری که می‌توانید بکنید این است که جمله‌های $x_n$ را که اکنون با دانستنِ $x_0$ می‌توانید محاسبه کنید را بنویسید تا به صفر برسید.

$$\begin{array}{l|lllllllll} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\\hline x_n & 64000 & 56000 & 48000 & 40000 & 32000 & 24000 & 16000 & 8000 & 0 \end{array}$$

پس ۸ نفر هستند و سهم هر فرد که تفاضل دو جملهٔ پشت‌سرهم است ۸۰۰۰ واحد است. اما به جای نوشتن تک تک با جایگذاری در ضابطهٔ دنباله می‌توانید از اینکه سهم هر فرد برابر است کمک بگیرید. پس از اینکه $x_0-x_1=8000$ نه تنها نتیجه می‌شود که سهم نفر یکُم، بلکه سهم هر فرد ۸۰۰۰ واحد است و سپس همان گونه که @Elyas1 نیز در پاسخ‌شان اشاره کردند از اینکه کل مقدار برابر با تعداد نفرها ضرب در سهم هر فرد است با حل کردنِ برابریِ $x_0=n\times 8000$ (که $x_0=64000$) به پاسخ برسید.