عدد حاصل از $ 2^{37} -1$، اول است یا مرکب؟ چرا؟

Question

آیا عدد $ 2^{37} -1$، اول است؟ چرا؟

تلاش خودم: طبق قضیۀ فرما، $ b^{n} -a^{n} $ بر $b-a$ بخش پذیر است ولی چون اینجا برابر $2-1=1$ می‌شود، نتوانستم به نتیجه‌ای برسم.

Comments

ممنون بخاطر یادآوری

Answer 1

@alineysi

با درود. برای اینکه اعداد بشکل $2^{p}-1$ عدد اول تولید کنند، $p$ باید یکی از اعداد اول مرسن باشد که عدد $37$ جزو آنها نیست. به نقل از ویکیپدیای انگلیسی، اعداد اول مرسن که با عبارت فوق عدد اول تولید میکنند، عبارتند از:

$2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933$

$$2^{37}-1=137438953471=223 × 616318177$$

برای اطلاعات بیشتر به لینکهای زیر مراجعه کنید. با آرزوی موفقیت و تندرستی.

اعداد اول مرسن - ویکیپدیای فارسی

اعداد اول مرسن - ویکیپدیای انگلیسی