اگر جملات $r>s>t$ یک دنباله حسابی تشکیل سه جمله متوالی یک دنباله هندسی بدهند آنگاه روش سریع بدست آوردن قدر نسبت دنباله هندسی به صورت زیر است:
$$q= \frac{r-s}{s-t} $$
اما اگر بخواهیم از روش عادی حساب کنیم داریم:
$ a_{r} =a +(r-1)d $ و $ a_{s} =a +(s-1)d $ و $ a_{t} =a +(t-1)d $ و بعنوان جملات دنباله هندسی رابطه ی زیر بینشون برقرار است:
$$ a_{s}^{2} =a_{r} a_{t} \Rightarrow a^{2} +2ad(s-1)+ d^{2}(s-1)^{2} =a^{2}+ad(r+t-2)+d^{2}(r-1)(t-1)$$
با حذف $ a^{2}$ از طرفین و تقسیم طرفین بر $d$ داریم:
$$ 2a(s-1)+ d(s-1)^{2} =a(r+t-2)+d(r-1)(t-1)=$$
$$ 2as-ar-at=2sd-dt-dr-d s^{2} +drt \Rightarrow $$
$$a= \frac{d(2s-t-r-s^{2} +rt)}{2s-r-t} $$
برای بدست آوردن قدر نسبت کافیست دو جمله را تقسیم کنیم:
$$ \frac{a_{r}}{a_{t}} = \frac{a +(r-1)d}{a +(t-1)d} $$
با جایگذاری مقدار$ a $ ابتدا صورت را ساده می کنم.
$$ \frac{d(2s-t-r-s^{2} +rt)}{2s-r-t}+ (r-1)d= $$
$$d \frac{2s-t-r-s^{2} +rt+2rs- r^{2}-rt-2s+r+t }{2s-r-t} = $$
$$ d \frac{-s^{2} -d \frac{ (r-s)^{2}}{2s-r-t} +2rs- r^{2}}{2s-r-t}=-d \frac{ (r-s)^{2}}{2s-r-t} $$
به طور مشابه مخرج هم برابر $$ -d \frac{ (s-t)^{2}}{2s-r-t} $$
است که با جایگذاری داریم:
$$ q^{2}=\frac{a_{r}}{a_{t}}= \frac{(r-s)^{2}}{(s-t)^{2}} $$ و حکم ثابت می شود.
