Question

اگر سه جمله غير متوالي از يك دنباله ي حسابي ,تشكيل يك دنباله ي هندسي بدهند آنگاه قدر نسبت ايجاد شده چيست؟..(بااثبات)

ممنون!!

Answer 1

اگر جملات $r>s>t$ یک دنباله حسابی تشکیل سه جمله متوالی یک دنباله هندسی بدهند آنگاه روش سریع بدست آوردن قدر نسبت دنباله هندسی به صورت زیر است:

$$q= \frac{r-s}{s-t} $$

اما اگر بخواهیم از روش عادی حساب کنیم داریم: $ a_{r} =a +(r-1)d $ و $ a_{s} =a +(s-1)d $ و $ a_{t} =a +(t-1)d $ و بعنوان جملات دنباله هندسی رابطه ی زیر بینشون برقرار است: $$ a_{s}^{2} =a_{r} a_{t} \Rightarrow a^{2} +2ad(s-1)+ d^{2}(s-1)^{2} =a^{2}+ad(r+t-2)+d^{2}(r-1)(t-1)$$ با حذف $ a^{2}$ از طرفین و تقسیم طرفین بر $d$ داریم: $$ 2a(s-1)+ d(s-1)^{2} =a(r+t-2)+d(r-1)(t-1)=$$ $$ 2as-ar-at=2sd-dt-dr-d s^{2} +drt \Rightarrow $$ $$a= \frac{d(2s-t-r-s^{2} +rt)}{2s-r-t} $$ برای بدست آوردن قدر نسبت کافیست دو جمله را تقسیم کنیم: $$ \frac{a_{r}}{a_{t}} = \frac{a +(r-1)d}{a +(t-1)d} $$ با جایگذاری مقدار$ a $ ابتدا صورت را ساده می کنم. $$ \frac{d(2s-t-r-s^{2} +rt)}{2s-r-t}+ (r-1)d= $$ $$d \frac{2s-t-r-s^{2} +rt+2rs- r^{2}-rt-2s+r+t }{2s-r-t} = $$ $$ d \frac{-s^{2} -d \frac{ (r-s)^{2}}{2s-r-t} +2rs- r^{2}}{2s-r-t}=-d \frac{ (r-s)^{2}}{2s-r-t} $$ به طور مشابه مخرج هم برابر $$ -d \frac{ (s-t)^{2}}{2s-r-t} $$ است که با جایگذاری داریم: $$ q^{2}=\frac{a_{r}}{a_{t}}= \frac{(r-s)^{2}}{(s-t)^{2}} $$ و حکم ثابت می شود.

Comments

بسیار عالی بود و تنها سوالی که من دارم اینه که شما در آخر از تقسیم جمله سوم‌به اول قدر نسبت به توان دو رو بدست آوردین و سپس جزر گرفتین، آیا میشه که از تقسیم جمله سوم و به دوم به همین اثبات رسید ؟؟