Question

اگر سه جمله غير متوالي از يك دنباله ي حسابي ,تشكيل يك دنباله ي هندسي بدهند آنگاه قدر نسبت ايجاد شده چيست؟..(بااثبات)

ممنون!!

Answer 1

اگر جملات $r>s>t$ یک دنباله حسابی تشکیل سه جمله متوالی یک دنباله هندسی بدهند آنگاه روش سریع بدست آوردن قدر نسبت دنباله هندسی به صورت زیر است:

$$q= \frac{r-s}{s-t}$$

اما اگر بخواهیم از روش عادی حساب کنیم داریم: $a_{r} =a +(r-1)d$ و $a_{s} =a +(s-1)d$ و $a_{t} =a +(t-1)d$ و بعنوان جملات دنباله هندسی رابطه ی زیر بینشون برقرار است:

$$a_{s}^{2} =a_{r} a_{t} \Rightarrow a^{2} +2ad(s-1)+ d^{2}(s-1)^{2} =a^{2}+ad(r+t-2)+d^{2}(r-1)(t-1)$$ با حذف $a^{2}$ از طرفین و تقسیم طرفین بر $d$ داریم: $$2a(s-1)+ d(s-1)^{2} =a(r+t-2)+d(r-1)(t-1)=$$ $$2as-ar-at=2sd-dt-dr-d s^{2} +drt \Rightarrow$$ $$a= \frac{d(2s-t-r-s^{2} +rt)}{2s-r-t}$$ برای بدست آوردن قدر نسبت کافیست دو جمله را تقسیم کنیم: $$\frac{a_{r}}{a_{t}} = \frac{a +(r-1)d}{a +(t-1)d}$$ با جایگذاری مقدار$a$ ابتدا صورت را ساده می کنم. $$\frac{d(2s-t-r-s^{2} +rt)}{2s-r-t}+ (r-1)d=$$ $$d \frac{2s-t-r-s^{2} +rt+2rs- r^{2}-rt-2s+r+t }{2s-r-t} =$$ $$d \frac{-s^{2} -d \frac{ (r-s)^{2}}{2s-r-t} +2rs- r^{2}}{2s-r-t}=-d \frac{ (r-s)^{2}}{2s-r-t}$$ به طور مشابه مخرج هم برابر $$-d \frac{ (s-t)^{2}}{2s-r-t}$$ است که با جایگذاری داریم: $$q^{2}=\frac{a_{r}}{a_{t}}= \frac{(r-s)^{2}}{(s-t)^{2}}$$ و حکم ثابت می شود.

Comments

بسیار عالی بود و تنها سوالی که من دارم اینه که شما در آخر از تقسیم جمله سوم‌به اول قدر نسبت به توان دو رو بدست آوردین و سپس جزر گرفتین، آیا میشه که از تقسیم جمله سوم و به دوم به همین اثبات رسید ؟؟