Question

مجموع $n$ جمله اول يك دنباله ي هندسي متناهي را بدست آوريد ممنون

Answer 1

یادآوری:$(1-q)(1+q+q^2+q^3+ \ldots +q^{n-1})= 1-q^n$ پس می‌توان گفت که

$$1+q+q^2+q^3+ \ldots +q^{n-1}= \dfrac{1-q^n}{1-q} \qquad (*)$$

جواب سوال:

$S_n=a_1+a_1q+a_1q^2 + \ldots + a_1q^{n-1} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$

$= a_1(1+q+q^2+q^3+ \ldots +q^{n-1}) \quad \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad$

که از یادآوری بالا داریم:

$$S_n=a_1(\dfrac{1-q^n}{1-q})$$

Answer 2

فرض کنید $a_{1}, a_{2} , a_{3}, ...$ یک دنباله هندسی با جمله اول$a_{1}$ و قدر نسبت $q$ است و قرار می دهیم :

$$S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$$ حال طرفین را در $q$ ضرب می کنیم: $$qS_{n} = a_{1}q + a_{2}q + ... + a_{n}q$$ اما طبق تعریف تصاعد هندسی داریم : $$a_{1}q = a_{2}$$ $$a_{2}q = a_{3}$$ $$.$$ $$.$$ $$.$$ $$a_{n}q = a_{n + 1}$$ پس داریم : $$qS_{n} = a_{2} + a_{3} + ... + a_{n + 1}$$ حال $qS - S$ را محاسبه می کنیم داریم : $$qS_{n} - S_{n} = a_{n + 1} - a_{1}$$ $$(q-1)S_{n} = a_{n + 1} - a_{1}$$ $$S_{n} = \frac{a_{n + 1} - a_{1}}{q-1}$$ این یک فرمول برای $S$ است از طرفی می دانیم : $$a_{n} = a_{1} q^{n-1}$$ پس: $$a_{n + 1} = a_{1} q^{n}$$ که با جاگذاری در فرمول بالا که بدست آوردیم فرمول زیر بدست می آید : $$S _{n} = \frac{a_{1} (q^n - 1)}{q-1}$$