Question

مجموع $n$ جمله اول يك دنباله ي هندسي متناهي را بدست آوريد ممنون

Answer 1

یادآوری:$(1-q)(1+q+q^2+q^3+ \ldots +q^{n-1})= 1-q^n $ پس می‌توان گفت که

$$ 1+q+q^2+q^3+ \ldots +q^{n-1}= \dfrac{1-q^n}{1-q} \qquad (*) $$

جواب سوال:

$S_n=a_1+a_1q+a_1q^2 + \ldots + a_1q^{n-1} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $

$ = a_1(1+q+q^2+q^3+ \ldots +q^{n-1}) \quad \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad $

که از یادآوری بالا داریم: $$ S_n=a_1(\dfrac{1-q^n}{1-q})$$

Answer 2

فرض کنید $ a_{1}, a_{2} , a_{3}, ... $ یک دنباله هندسی با جمله اول$ a_{1} $ و قدر نسبت $ q $ است و قرار می دهیم : $$ S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} $$ حال طرفین را در $q$ ضرب می کنیم: $$ qS_{n} = a_{1}q + a_{2}q + ... + a_{n}q $$ اما طبق تعریف تصاعد هندسی داریم : $$ a_{1}q = a_{2} $$ $$ a_{2}q = a_{3} $$$$ .$$ $$ .$$$$ . $$$$ a_{n}q = a_{n + 1} $$ پس داریم : $$ qS_{n} = a_{2} + a_{3} + ... + a_{n + 1} $$ حال $qS - S$ را محاسبه می کنیم داریم : $$qS_{n} - S_{n} = a_{n + 1} - a_{1} $$$$ (q-1)S_{n} = a_{n + 1} - a_{1} $$ $$ S_{n} = \frac{a_{n + 1} - a_{1}}{q-1} $$ این یک فرمول برای $ S $ است از طرفی می دانیم :$$ a_{n} = a_{1} q^{n-1} $$ پس: $$ a_{n + 1} = a_{1} q^{n} $$ که با جاگذاری در فرمول بالا که بدست آوردیم فرمول زیر بدست می آید : $$ S _{n} = \frac{a_{1} (q^n - 1)}{q-1} $$