در اینجا ثابت شده مجموع جملات دنباله هندسی برابر است با:
$$a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}=S_n=a(\dfrac{1-q^n}{1-q})$$
حال چنانچه $|q|< 1$ در اینصورت این مجموع همگراست و کافی است $n$ را به سمت بی نهایت میل دهیم. اما اگر $n$ به سمت بی نهایت رود از آنجا که $-1< q< 1$ داریم $q^n\to 0$ لذا مجموع برابر است با:
$$\require{cancel}S=a(\dfrac{1-\cancelto0{q^n}}{1-q})=\frac{a}{1-q}$$
اگر $|q|> 1$ یعنی $q> 1$ یا $q< -1$ در اینصورت دنباله واگراست چرا که $q^n$ به سمت بی نهایت می رود.
اگر $q=1$ در اینصورت دنباله به صورت $$a+a+\cdots$$ در می آید که به بی نهایت واگراست.
و اگر $q=-1$ باز هم دنباله واگرا است چرا که مجموع $n$ جمله ی آن $a-a+a-a\cdots$ اگر $n$ زوج باشد برابر صفر و اگر $n$ فرد باشد برابر $a$ است پس واگراست.
توجه کنید چنانچه $a=0$ در اینصورت قدرنسبت هر چه باشد مجموع جملات برابر صفر است زیرا سری به صورت $0+0+0+\cdots $ در می آید.
