مشخص کردن دنباله ی هندسی با جمله دوم 6 به طوریکه حد مجموع جملات آن یک هشتم حد مجموع مربعات جملات آن است

Question

در یک دنباله هندسی جمله دوم برابر ۶ و حد مجموع جملات آن یک هشتم حد مجموع مربعات جملات آن می‌باشد. این دنباله را مشخص کنید.

Answer 1

فرض کنید جملهٔ شروع و قدر نسبت دنبالهٔ هندسی‌تان به ترتیب $a$ و $q$ باشند. جملهٔ دوم دنباله‌تان چه می‌شود؟ $aq$ می‌شود. پس فرض نخست‌تان این را می‌دهد که $aq=6$. اکنون چون حد جمع جمله‌ها موجود فرض شده‌است پس باید $|q|< 1$. در این صورت حد سری‌تان (حد جمع جمله‌های دنباله‌تان) برابر است با $\frac{a}{1-q}$. اما جمع توان‌دوی جمله‌ها چی؟ یک جمله در دنباله‌تان به چه شکل است؟ جملهٔ $n$اُم به شکلِ $aq^{n-1}$ است. پس توان دوی این جمله برابر است با چه؟ برابر است با $(aq^{n-1})^2=a^2q^{2n-2}=(a^2)(q^2)^{n-1}$. چه چیزی دیدید؟ این را یافتید که دنباله‌ای که عضوهایش توان دو عضوهای یک دنبالهٔ هندسی با جمله شروع $a$ و قدر نسبت $q$ است، یک دنبالهٔ هندسی است با جمله شروع $a^2$ و قدرنسبت $q^2$. چون $|q|< 1$ پس $|q^2|=(|q|)^2< 1$ و در نتیجه حد سری آن موجود و برابر است با $\frac{a^2}{1-q^2}$. پس فرض دوم‌تان می‌گوید که

$$\begin{align} \frac{\frac{a}{1-q}}{\frac{a^2}{1-q^2}}=\frac{1}{8} &\Longrightarrow\frac{1}{\frac{a}{1+q}}=\frac{1}{8}\\ & \Longrightarrow \frac{q+1}{a}=\frac{1}{8}\\ & \Longrightarrow a=8(q+1) \end{align}$$

اکنون از این دو رابطه داریم:

$$\begin{align} aq=6,\;a=8(q+1) &\Longrightarrow 8a(a+1)=6\\ & \Longrightarrow q(q+1)=\frac{6}{8}\\ & \Longrightarrow q^2+q-\frac{6}{8}=0 \end{align}$$

که احتمالا باید حل برابریِ درجه‌دو را خودتان بدانید. این برابری دارای دو پاسخ است $\frac{1}{2}$ و $-\frac{3}{2}$ که چون دومی در $|q|< 1$ صدق نمی‌کند پذیرفته نیست. در نتیجه $q=\frac{1}{2}$ و به دنبال آن با جایگذاری در یکی از دو رابطه‌ای که داشتیم داریم $a=12$.