قدرنسبت یک دنباله هندسی که مجموع بیست جمله اول A واحد بیشتر از مجموع سیزده جمله اول است و مجموع ده جمله اول B واحد کمتر از مجموع هفده جمله اول است

Question

در یک دنباله‌ی هندسی، مجموع بیست جمله‌ی اول، $A$ واحد بیشتر از مجموع سیزده جمله‌ی اول است. و مجموع ده جمله‌ی اول، $B$ واحد کمتر از مجموع هفده جمله‌ی اول است. قدر نسبت این دنباله‌ی هندسی کدام است؟

1. $\frac{A}{B}$
2. $\sqrt[3]{ \frac{A}{B} }$
3. $\sqrt[5]{ \frac{A}{B} }$
4. $\sqrt[7]{ \frac{A}{B} }$

Answer 1

اگر جمله اول دنباله را $a$ و قدر نسبت را $q$ بگیریم و $aq \neq 0$ ، داریم:

$$a_1+a_2+...+a_{20}=A+a_1+a_2+...+a_{13}$$

$$,a_1+a_2+...+a_{10}+B=a_1+a_2+...+a_{17}$$

$$\Rightarrow A=a_{14}+a_{15}+...+a_{20}=aq^{10}+aq^{11}+...+aq^{16}=aq^{10}(1+q+...+q^6)$$

$$,B=a_{11}+a_{12}+...+a_{17}=aq^{13}+aq^{14}+...+aq^{19}=aq^{13}(1+q+...+q^6)$$

$$\Rightarrow \frac{B}{A} = \frac{aq^{13}(1+q+...+q^6)}{aq^{10}(1+q+...+q^6)} =q^3$$

$$\Rightarrow q= \sqrt[3]{ \frac{B}{A} }$$

$\Box$