آیا $2^{\sqrt 3}$ عددی متعالی است؟ اگر بله، چگونه می توان اثبات کرد که $2^{\sqrt 3}$ عددی متعالی است؟

Question

می‌دانیم که در ریاضیات، به عددی که یکی از ریشه‌های یک چندجمله‌ای با ضرایب گویا باشد، عدد جبری می‌گویند. برای مثال، $\sqrt{2}$ جبری است؛ زیرا $\sqrt{2}$ ریشهٔ معادلهٔ چندجمله‌ای $x^2-2=0$ است. اما به عددی که جبری نباشد، متعالی گفته می‌شود. برای مثال، عدد پی ($\pi$)، متعالی است. اما پرسشی که ذهنم را درگیر کرده این است که آیا عدد $2^{\sqrt 3}$ متعالی است؟ اگر بله، چگونه می‌توان متعالی بودن آن را اثبات کرد؟ کلاً متعالی بودن یک عدد را چگونه اثبات می‌کنند؟

Answer 1

به نام خدا

بلی. $2^{\sqrt{3}}$ عددی متعالی است. کلاً هر عدد به شکل ${\alpha}^{\beta}$، که $\alpha$ و $\beta$ دو عدد جبری هستند و $\alpha \ne 0, \alpha \ne 1, \beta \not \in \mathbb{Q}$ است، عددی متعالی است. برای اثبات آن هم می‌‌توانید به این لینک مراجعه کنید (در همان صفحۀ اول این موضوع اثبات شده‌است).

البته توجه داشته باشید که نمونه‌های کمی از اعداد متعالی شناخته شده‌اند؛ چرا که اثبات متعالی بودن یک عدد دشوار است. دو نمونۀ معروف از اعداد متعالی، اعداد $\pi$ و $e$ (عدد اویلر) می‌باشند.

Comments

با سلام
لینکی که در پاسخ ذکر کردید ، روی آن کلیک کردم اما به صفحه‌ ای ارجاع داده نشد.

---

@Dana_Sotoudeh با سلام
بنده الان بررسی کردم. لینک مشکلی ندارد. در واقع لینک فوق، لینک دانلود یک فایل پی‌دی‌اف است و با کلیک بر روی آن، دانلود فایل شروع می‌شود.

---

@Dana_Sotoudeh : با درود. علتش را نمیدانم ولی گاهی این مشکل پیش می آید. ولی با یک نرم افزار دانلود مانند ADM مشکل حل میشود. یا اینکه اگر با تبلت یا موبایل کار میکنید، میتوانید انگشتتان را روی لینک نگهدارید و گزینه copy link address را انتخاب کرده و در new tab گوگل کروم paste کنید تا فایل دانلود شود. با همین کار من موفق شدم فایل را دانلود کنم. پاسخ خوب @Math.Al قابل تقدیر است.

---

@ناصر آهنگرپور
بله الان فایل دانلود شد ، سپاس