آبتدا به تعریف زیر توجه نمایید :
تعریف : منظور از افراز عدد طبیعی n به k جمعوند یعنی یافتن اعداد $ x_{1} , x_{2} , ... , x_{k} $ به طوری که $ x_{1} < x_{2} < ... < x_{k} $ و داریم :
$$ x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = n $$
تعداد افراز های عدد n به k جمعوند را با نماد $ p_{k}(n) $ نمایش می دهیم .
حال مسئله را حل می کنیم .فرض کنیم N عددی زوج است و $ N = 2m $ به هر مثلثی
با اضلاع به طول صحیح که محیط آن N است می توان افرازی از عدد m به 3 جمعوند نسبت داد .
به این صورت که فرض کنیم $ \triangle ABC $ مثلثی با اضلاع a , b , c می باشد که محیط آن N
است یعنی $a + b + c = N$ و $ a < b < c $ حال به راحتی می توان اعداد
طبیعی $ x , y , z $ را یافت که $ x < y < z $ و داریم :
$$ \begin{cases}a = x+ y \\b = y + z \\c = x + z\end{cases} $$
. همان طور که مشاهده می شود با توجه به نحوه انتخاب $ x , y , z $ نامساوی های مثلثی برقرار است :
$$ a + b = x + 2y + z > x + z = c $$ $$ a + c = 2x + y + z > y + z = b$$ $$ b + c = x + y + 2z > x + y = a$$
پس $ x + y + z = N / 2 = m $. که افرازی از عدد m به 3 جمعوند است . و بعکس به
هر چنین افرازی می توان مثلثی با اضلاع صحیح و محیط $ N = 2m $ را نسبت داد . پس
تعداد چنین مثلث هایی برابر است با تعداد افراز های عدد m به 3 جمعوند که آنرا با نماد
$ p_{3}(m) $ نمایش می دهیم .
هدف : پیدا کردن فرمول $ p_{3}(n) $ بر حسب n :
قضیه1 : به ازای هر عدد طبیعی n و هر عدد طبیعی k که $ 1 < k \leq n $ داریم :
$$ p_{k}(n) = p_{k-1} (n - 1 ) + p_{k} (n-k) $$
قضیه 2 : $$ p_{2}(n) = [\frac {n}{2}] $$ که منظور از علامت [ ] جزصحیح است .
پس داریم :
$$ p_{3}(n) = p_{2}(n-1) + p_{3} (n-3) $$
و با استفاده از قضیه 2 داریم :
$$ p_{3}(n) = [\frac{n-1}{2}] + p_{3} (n-3) $$
حال با استفاده از این رابطه بازگشتی می توان مقدار $ p_{3}(n) $ را بدست آورد .
به عنوان مثال برای N = 20 داریم m = 10 پس :
< math>$$ p_{3}(10) = [\frac92] + p_{3}(7)= [\frac92] + [\frac62] + p_{3}(4) = [\frac92]+ [\frac62]+ [\frac32] +p_{3}(1) = 8 $$
پس تعداد مثلث های با اضلاع صحیح که محیط آنها 20 است برابر 8 است .
