محاسباتی انجام دادیم و در نهایت به $-1=1$ رسیدیم. مشکل از کجاست؟

Question

$$-1 = (-1)^1 = (-1)^{2\cdot \frac{1}{2}} = {((-1)^2)}^{\frac{1}{2}} = (1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$$

$$\therefore -1 = 1$$

ایراد این اثبات کجاست؟

Comments

پیشنهاد می کنم که بلاگ زیر را مطالعه فرمایید.
https://math.irancircle.com/blog/130/

---

@Mobin+Jame پرسش‌هایی مشابه در سایت هست. برای نمونه می‌توانید پرسش زیر و پاسخ آقای @AmirHosein را ببینید:
https://math.irancircle.com/18012

Answer 1

دقت کنید که:

$$-(1^2)=-1$$

اما:

$$(-1)^2=1$$

وجود همین پرانتز، پاسخ را متفاوت خواهد کرد. پس باید بنویسید:

$$\large-(1^{\big( \frac{2}{2} \big)})=-1$$

Answer 2

$$x^{ab} = (x^{a})^{b}$$ تنها زمانی برقرار است که $x$ مثبت باشد.

Comments

@Mobin_Jame درست است که برای $x$های مثبت اثبات داریم. اما به این معنا نیست که فقط $x$های مثبت. برای نمونه چرا برای صفر برقرار نباشد؟ بعلاوه باید اشاره کنید که منظورتان چه $a$ و $b$هایی است. اگر آنها را عددهای طبیعی بگیریم آنگاه برای هر عدد مختلطی این رابطه برقرار است.