آیا مجموعهٔ دانش آموزهای یک کلاس به همراه رابطهٔ هم سن بودن، یک مجموعهٔ مرتب می شود؟

Question

مجموعهٔ دانش‌آموزهای یک کلاس را با رابطهٔ هم‌سن بودن در نظر بگیرید، آیا یک مجموعهٔ مرتب می‌شود؟

تلاش من: سلام و وقت بخیر. برای مجموعه مرتب میدونم باید ۲ تا خاصیت تثلیث و تعدی رو داشته باشند و این دو خاصیت رو بلدم اما نمی دونم چطور برای این مثال بکار ببرم. برای مجموعه افراد کلاس می دونم که:

$S={{افراد کلاس}}$

and, $x,y,z \in S$ :$y هم سن x$, $z هم سن y$ پس $z هم سن x$

پس خاصیت تعدی را دارد.

برای مورد اولی و خاصیت ثللیث دومی نمی فهمم چه طور بنویسم. ممنون میشم راهنماییم کنید. ممنون.

Comments

@ailin برای ترتیب باید سه ویژگی برقرار باشد نه فقط دو ویژگی، ویژگی‌ای که از قلم انداخته‌اید، ویژگیِ پادتقارنی است. نکتهٔ دوم اینکه ابتدا یکی از دو مثالی که گذاشته‌اید را بپرسید در این پست و سپس با توجه به پاسخی که گرفتید، خودتان تلاش کنید تا مثال دوم را حل کنید و اگر نتوانستید، آنگاه در قالب یک پرسش جدید مطرح کنید. هر دو را همزمان نگذارید.

---

@ailin اگر برای پرسش‌تان ارزش قائل هستید، آنگاه باید به دیدگاه‌ها و پاسخ‌هایی که دریافت می‌کنید واکنش نشان دهید. به هر حال، برای مجموعهٔ توانی به همراه رابطهٔ زیرمجموعه‌بودن به پست زیر از همین سایت نگاه کنید.
https://math.irancircle.com/17878

Answer 1

مجموعهٔ دانش‌آموزهای یک کلاس را با $A$ نشان دهید. رابطهٔ هم‌سن بودن را با $\prec$ نمایش دهید. پس برای هر دو دانش‌آموز این کلاس اگر آنها را با $x$ و $y$ نمایش دهیم، داریم $x\prec y$ اگر و تنها اگر $x$ و $y$ همسن باشند، یعنی سن‌شان عددی برابر شود، برای نمونه هر دو ۱۲ ساله باشند. برای اینکه این مجموعهٔ $A$ به همراهِ رابطهٔ $\prec$ یک مجموعهٔ مرتب باشد، باید این رابطه یک ترتیب باشد. توجه کنید که ترتیب می‌تواند پاره‌ای (جزئی) باشد یا کلی باشد. اگر این رابطه ترتیبِ پاره‌ای باشد آنگاه می‌گوئیم دوتاییِ مرتبِ $(A,\prec)$ یک مجموعهٔ مرتبِ پاره‌ای است که دقیقا همان معنای این را می‌دهد که بگوئیم «مجموعهٔ $A$ با رابطهٔ $\prec$ یک مجموعهٔ مرتب پاره‌ای می‌شود» یا اینکه بگوئیم «رابطهٔ $\prec$ روی مجموعهٔ $A$ یک ترتیبِ پاره‌ای است». برای اینکه یک ترتیبِ پاره‌ای شود باید سه ویژگی برقرار باشند. ۱- بازتابی (انعکاسی) ۲- پادمتقارنی ۳- تراگذاری (ترایایی، تعدی).

رابطهٔ بازتابی یعنی هر عضو مجموعه با خودش رابطهٔ داده‌شده را داشته‌باشد. در این مورد به این شکل ترجمه می‌شود که هر دانش‌آموز همسن با خودش باشد. اینطور نیست؟ شما همسن با خودتان نیستید؟ پس در اینجا به طور بدیهی داریم

$$\forall x\in A\;\colon\;x\prec x$$

ویژگی بازتابی برقرار است. رابطهٔ پادتقارنی چیست؟ این است که اگر $x$ با $y$ این رابطه را داشته باشد، آنگاه $y$ دیگر حق ندارد با $x$ این رابطه را داشته‌باشد. یعنی بین هر دو عضو، این رابطه فقط از یک سمت حق دارد برقرار باشد. توجه کنید اگر از هیچ طرف برقرار نباشد مشکلی ندارد، پس هیچ کدام با دیگری رابطه نداشته‌باشد یا اینکه فقط یک طرف رابطه باشد. اگر دو عضو متفاوت یافتید که از هر دو سمت رابطه برقرار بود، آنگاه پادتقارنی نیست. پاسخ این قسمت بستگی به کلاس‌تان دارد. اگر کلاس‌تان واقعا هیچ دو نفری همسن ندارد، پادتقارنی برقرار است. ولی به طور کلی برای یک کلاس بدون هیچ داشتن فرض بیشتری، این شرط الزاما برقرار نیست (معمولا برعکس است و بیشتر دانش‌آموزها همسن هستند تا اینکه سن متفاوت داشته باشند) پس رابطهٔ پارتقارنی الزاما برقرار نیست و در نتیجه پاسخ پرسش‌تان در حالت کلی خیر است و مجموعهٔ مرتب ندارید.

نیاز به بررسی ویژگیِ ترایایی نیست چون برقرار نبودن یک ویژگی برای صدق نکردن در تعریف کافی است. اما اگر علاقه داشتید که بدانید، ویژگیِ ترایایی برقرار است. این ویژگی یعنی اگر $x$ با $y$ رابطه داشت و $y$ با $z$ رابطه، آنگاه بتوانید نتیجه بگیرید که $x$ هم با $z$ برقرار است. چگونه می‌دانیم این رابطه در این نمونه برقرار است؟ خیلی ساده. اگر سنِ علی با سنِ حسن برابر باشد و سن حسن با سن حسین، آیا سن علی و حسین می‌تواند متفاوت باشد؟

پس مجموعهٔ دانش‌آموزهای یک کلاس با رابطهٔ همسن بودن یک مجموعهٔ مرتب پاره‌ای نیست (چه برسد به مجموعهٔ مرتب کلی). توجه کنید که حتی اگر همسن بودن را با «سنِ کوچکتر یا مساوی داشتن» جابجا کنید، باز هم الزاما مجموعهٔ مرتب پاره‌ای ندارید چون می‌توانید دو فرد متفاوت با سن یکسان داشته‌باشید. اگر رابطه را با «سن کوچکترِ اکید داشتن» جابجا کنید، باز هم مجموعهٔ مرتب پاره‌ای ندارید چون با اینکه ویژگیِ پادتقارنی درست می‌شود، ولی ویژگیِ بازتابی به اشکال برمی‌خورد چون سن شما نمی‌تواند از سن خودتان کمترِ نامساوی باشد!

در انتها صرفا برای خواننده‌های علاقه‌مند، دو ویژگی دیگر با نمادها اینگونه نوشته می‌شوند.

• ویژگی پادتقارنی

$$\forall x,y\in A\;\colon\;(x\prec y\Longrightarrow y\not\prec x)$$

یا شکلِ هم‌ارز آن (دارای معنای یکسان):

$$\forall x,y\in A\;\colon\;(x\prec y\wedge y\prec x\Longrightarrow x=y)$$

• ویژگی ترایایی

$$\forall x,y,z\in A\;\colon\;(x\prec y\wedge y\prec z\Longrightarrow x\prec z)$$

و باز برای خواننده‌های با علاقه‌مندیِ بیشتر، مجموعهٔ دانش‌آموزهای یک کلاس با رابطهٔ همسن‌بودن یک افراز می‌شود یا دارای رده‌های هم‌ارزی. این زمانی روی می‌دهد که همهٔ ویژگی‌های مجموعهٔ مرتب پاره‌ای به جز پادتقارنی برقرار باشند و به جای پادتقارنی، ویژگیِ تقارنی برقرار باشد. تقارنی برخلافِ پادتقارنی می‌گوید، اگر رابطه بین دو عضو برقرار بود، آنگاه باید حتما از هر دو سمت برقرار باشد و نه فقط از یک طرف. پس یعنی بین هر دو عضو دلخواه یا رابطه نباشد یا اگر هست از هر دو طرف باشد.

$$\forall x,y\in A\;\colon\;(x\prec y\Longrightarrow y\prec x)$$

که در این نمونه روشن است چرا این ویژگی را داریم. اگر من همسن شما باشم، آنگاه شما همسن با من نیستید؟