چند عدد از 1 تا 10000 دقیقا یک رقم 7 و یک رقم 8 دارند؟

Question

چند عدد از مجموعهٔ $X=\lbrace 1,2,3,4,\dots,9999,10000\rbrace$ دقیقا یک رقم 7 و یک رقم 8 دارند؟

تلاش من: اگه بیایم از جایگذاری (نمیدونم دقیقا چی میگن) بریم، $8\times 8\times 1\times 1$، تعداد حالت های 7 و 8 رو 1 گرفتم و حالات باقی اعداد 8 میشه و باید حساب کنم تو چند حالت 1ها و 8ها جا به جا میشن.

Answer 1

سوال مطرح شده معادل این است که در بین کدهای چهار رقمی چند کد دقیقا دارای یک 7 و یک 8 می باشد؟ اما جواب این مسئله، با حذف این 7 و 8 کدهای دو رقمی بدست می آیند که 7 و 8 ندارند برای ادامه دو حالت در نظر می گیریم

حالت اول) کدهایی که دو رقم یکسان (بغیر از 7 و8)مثلاa دارند 8تاست. بنابراین تعداد کدهای چهار رقمی که با 7،8،a و a می توان نوشت برابر است با $$8× \frac{4!}{2!} =96 $$

حالت دوم) کدهایی دو رقمی با ارقام غیر یکسان (بغیر از 7 و8)مانند a و b دارند برابر 56 می باشه در این صورت تعداد کد چهار رقمی با چهار رقم متمایز 7، 8، a، b برابر است با $$ \frac{56×4!}{2} =672 $$ تقسیم بر 2 با توجه به توضیح کامل @Elyas1 صورت گرفت

بنابراین مجموع این دو حالت 768کد چهار رقمی بدست می آید.

Comments

اشتباه محاسباتی درست کردم ولی با جواب برنامه یکسان نشد؟با برنامه آشنا نیستم دوستان هر دو روش بررسی کنند

---

@amir7788 در قسمت دوم پاسختون نیاز به تقسیم بر دو نیز هست. مثلاً دو حالت زیر که یکسان اند محاسبه شده است.
حالت اول $a=2,b=1$ در این صورت در اعداد به شکل $7a8b$ عدد $7281$ وجود دارد.

حالت دوم $b=2,a=1$ در این صورت در اعداد به شکل $7b8a$ عدد  $7281$ وجود دارد.

Answer 2

برای پاسخ به این سوال باید کد های چهاررقمی که تعداد 7 و 8 در آنها دقیقا برابر یک است را پیدا کنیم توجه داشته باشید که ارقام سمت چپ کد میتوانند 0 باشند چون سوال الزاما اعداد 4 رقمی از ما نخواسته برای رقم 8 ، 4 انتخاب و برای رقم 7 ، 4 منهای 1 یعنی 3 انتخاب داریم و برای هریک از دو جایگاه باقیمانده 10 منهای 2 یعنی 8 انتخاب داریم در نهایت 4×3×8×8=768 حالت مطلوب خواهیم داشت کد زیر (که به زبان پایتون نوشته شده است) صحت پاسخ را تایید میکند :

x = 0
for i in range(1, 10001):
    i = str(i)
    if i.count("7") == 1 and i.count("8") == 1:
        x+=1
print("x is ", x)

Comments

@moh_amin اینکه از برنامه‌نویسی استفاده کردید خوب است ۱+ صرفا به عنوان یک نکته می‌توانید کدهای‌تان را نیز مانند فرمول‌های ریاضی تایپ کنید. به مورد شمارهٔ ۵ در راهنمای زیر نگاه کنید
https://math.irancircle.com/8627

Answer 3

به نام خدا

با نوشتن یک کد ساده به زبان ++C، پاسخ 768 به‌دست می‌آید که درست است.

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main()
{
    int count7 = 0, count8 = 0, countn = 0;
    for (int i = 1; i <= 10000; ++i)
    {
        for (char c : to_string(i))
        {
            if (c == '7') ++count7;
            if (c == '8') ++count8;
        }
        if (count7 == 1 && count8 == 1) ++countn;
        count7 = 0; count8 = 0;
    }
    cout << countn;
}

الگوریتم این برنامه به این شکل است که برای هر عدد از 1 تا 10000، تمام رقم‌های 7 و 8-ِ موجود در عدد را می‌شمارد و بعد اگر هم تعداد 7ها و هم تعداد 8ها برابر با 1 بود، به‌نتیجۀ نهایی یک واحد اضافه می‌کند و به عدد بعدی می‌رود و دوباره همین مراحل را تکرار می‌کند و در نهایت نتیجۀ نهایی (که 768 است) را نشان می‌دهد.