درون مربعی 57 نقطه وجود دارد به چند مثلث نیاز داریم تا مربع را با کاشی های مثلثی بپوشانیم؟

Question

درون مربعی 57 نقطه وجود دارد. می‌خواهیم این مربع را با کاشی‌های مثلثی شکل بپوشانیم به طوری که سه شرط زیر برقرار باشد:

1. حتما و فقط این 57 نقطه و چهار رأس مربع، رئوس کاشی‌های مثلثی باشند،
2. کاشی‌ها روی هم قرار نگیرند،
3. کاشی‌ها تمام مربع را بپوشانند.

برای این کار به چند کاشی مثلثی نیاز داریم؟

Comments

@fardinffa احتمالا شرط دوم‌تان این بوده‌است که روی هم نیافتند نه اینکه روی هم قرار بگیرند، یا اینکه منظورتان کنار هم قرار بگیرند بوده‌است. چون روی هم قرار بگیرند باعث می‌شود سوال‌تان خواسته باشد که همهٔ سه‌گوش‌ها روی هم باشند (هر سه گوشه‌شان یکسان باشد) که تناقض می‌شود چون آنگاه سایر نقطه‌ها استفاده نمی‌شوند و مربع‌تان نیز کامل پوشیده نمی‌شود.

Answer 1

به استقراء ریاضی می توان نشان داد که برای n نقطه درون مربع به $2n+2 $ کاشی مثلثی نیاز است. برای n=1 واضح است فرض می کنیم برای n=k درست باشد یعنی به $2k+2 $ کاشی مثلثی نیاز باشه. حال برای $k+1$ نقطه ثابت می کنیم ، برای k نقطه بنابه فرض به $2k+2 $ کاشی مثلثی تقسیم می شود. برای نقطه $k+1$ ام دو حالت داریم:

• حالت اول، این نقطه درون یکی از مثلث ها باشد در این صورت آن نقطه به سه راس مثلث وصل کرده در نتیجه به سه مثلث تقسیم می شود بنابراین دو مثلث به تعداد قبلی اضافه می شود.
• حالت دوم، این نقطه روی یکی از اضلاع مثلث مثلاAB باشد در این صورت دو نقطه مانند C و D وجود دارند به طوری که AB قطر 4ضلعی ACBD می باشد در این حالت کافی است آ ن نقطه به نقاط C و D وصل کنید تا 4ضلعی ACBD به 4 مثلث تقسیم شود بنابراین دو مثلث به تعداد قبلی اضافه می شود.

$$2k+2+2=2(k+1)+2 $$

حکم ثابت می شود بنابراین برای n=57 به 118 مثلث تقسیم می شود. $$2n+2=2*57+2=118 $$

Comments

حل بسیار خوبی است فقط در پایان جواب ۱۱۶ می‌شود لطفا اصلاح کنید تا این حل زیبا، کامل شود.

Answer 2

برای شمارش تعداد کاشی ها از زاویه کمک می‌گیریم؛ اولا می‌دانیم که مجموع زوایای هر مثلث ۱۸۰ درجه است، اگر k مثلث داشته باشیم مجموع زوایای همه ی این مثلث ها ۱۸۰k است. حال مجموع کل زوایای مثلث ها را به شکل دیگری محاسبه می‌کنیم: هر نقطه درون مربع راس مثلث هایی است، یکی از این نقاط را در نظر می‌گیریم، مجموع زاویه هایی از مثلث ها که راس آن زوایا نقطه ی مذکور است برابر ۳۶۰ است پس مجموع کل این زوایا ۳۶۰ × ۵۷ است اما رئوس مربع هم راس های برخی از این مثلث‌ها اند و می‌دانیم مجموع این زوایا با راس هایی که راس مربع نیز هستند برابر ۳۶۰ است پس داریم:

۵۷ × ۳۶۰ + ۳۶۰ = ۱۸۰k

از معادله‌ی بالا نتیجه می‌شود که تعداد کاشی ها ۱۱۶ است و حل تمام شد.