به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
115 بازدید
در دبیرستان توسط fardinffa (482 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardinffa

درون مربعی 57 نقطه وجود دارد. می‌خواهیم این مربع را با کاشی‌های مثلثی شکل بپوشانیم به طوری که سه شرط زیر برقرار باشد:

  1. حتما و فقط این 57 نقطه و چهار رأس مربع، رئوس کاشی‌های مثلثی باشند،
  2. کاشی‌ها روی هم قرار نگیرند،
  3. کاشی‌ها تمام مربع را بپوشانند.

برای این کار به چند کاشی مثلثی نیاز داریم؟

توسط AmirHosein (18,942 امتیاز)
+3
@fardinffa احتمالا شرط دوم‌تان این بوده‌است که روی هم نیافتند نه اینکه روی هم قرار بگیرند، یا اینکه منظورتان کنار هم قرار بگیرند بوده‌است. چون روی هم قرار بگیرند باعث می‌شود سوال‌تان خواسته باشد که همهٔ سه‌گوش‌ها روی هم باشند (هر سه گوشه‌شان یکسان باشد) که تناقض می‌شود چون آنگاه سایر نقطه‌ها استفاده نمی‌شوند و مربع‌تان نیز کامل پوشیده نمی‌شود.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط amir7788 (2,738 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

به استقراء ریاضی می توان نشان داد که برای n نقطه درون مربع به $2n+2 $ کاشی مثلثی نیاز است. برای n=1 واضح است فرض می کنیم برای n=k درست باشد یعنی به $2k+2 $ کاشی مثلثی نیاز باشه. حال برای $k+1$ نقطه ثابت می کنیم ، برای k نقطه بنابه فرض به $2k+2 $ کاشی مثلثی تقسیم می شود. برای نقطه $k+1$ ام دو حالت داریم:

  • حالت اول، این نقطه درون یکی از مثلث ها باشد در این صورت آن نقطه به سه راس مثلث وصل کرده در نتیجه به سه مثلث تقسیم می شود بنابراین دو مثلث به تعداد قبلی اضافه می شود.
  • حالت دوم، این نقطه روی یکی از اضلاع مثلث مثلاAB باشد در این صورت دو نقطه مانند C و D وجود دارند به طوری که AB قطر 4ضلعی ACBD می باشد در این حالت کافی است آ ن نقطه به نقاط C و D وصل کنید تا 4ضلعی ACBD به 4 مثلث تقسیم شود بنابراین دو مثلث به تعداد قبلی اضافه می شود.

$$2k+2+2=2(k+1)+2 $$

حکم ثابت می شود بنابراین برای n=57 به 118 مثلث تقسیم می شود. $$2n+2=2*57+2=118 $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...