به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
60 بازدید
قبل در دبیرستان توسط Elyas1 (129 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط Elyas1

۱۲ لامپ و ۱۲ کليد با شماره ۱ تا ۱۲ داريم. با زدن کليد شماره $k$اُم همهٔ لامپ‌هايی که شمارهٔ آنها کمتر يا مساوی $k$ است، تغيير وضعيت می‌دهند. در ابتدا تمامی لامپ‌ها خاموش هستند. به چند طريق می‌توان زيرمجموعه‌های ۷ عضوی از کليدها انتخاب کرد به طوری که با زدن آنها دقيقا ۷ لامپ روشن شود؟

پاسخ مسئله ۲۰۰ است

مرجع: المپیاد ریاضی مقطع دوم دبیرستان، مرحلهٔ نخست، سال ۱۳۹۸، ایران
قبل توسط Elyas1 (129 امتیاز)
+1
المپیاد ریاضی ایران ۹۸  برای تمام مدارس کشور در مقطع دبیرستان دورۀ دوم،مرحله اول.
قبل توسط AmirHosein (10,681 امتیاز)
+1
@Elyas1 این را باید در پرسش می‌افزودید. به هر حال من برایتان ویرایش کردم، به تغییر «عنوان» پرسش‌تان نیز توجه کنید.

2 پاسخ

0 امتیاز
قبل توسط soroush za (91 امتیاز)
انتخاب شده قبل توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

خب اینجور مسائل یه راه حل ساده دارد ولی منظور رو کامل رسوندن سخت هستش برای همین توی پاسخ قبل به خیال خودم راهی رو پیدا کردم که از این راه حل فرار کنم. سعیم رو میکنم که به بهترین شکل منطور رو برسونم فرض میکنیم 7کلید که زدیم به این صورت باشه {a b c d e f g } چون ترتیب اهمیت نداره فرض میکنیم

a > b > c > d >e > f > g

حال اگر چراغ ها رو به 8 دسته تقسیم میکنیم : چراغ های بزرگ تر از a
چراغ های کوچک تر مساوی a تا b این روند رو ادامه بدید تا دسته آخر که چراغ کوچک تر مساوی g هستش اولین دسته رو مثلا x_{0} که در واقع هیچ کلیدی روی آنها اثر نکرده. این روند نام گذاری رو تا x_{7} ادامه میدیم پس به روشنی واضح است که دسته هایی که شماره فرد دارن روشن و دسته های زوج هم خاموش هستن پس نتیجه میگیریم باید: x_{1} + x_{3} + x_{5} + x_{7} = 7 که باید در هر دسته حداقل یک عضو قرار دارد ( چراغ هایی که هم شماره با کلید های زده شده هستند) که 20 جواب متفاوت دارد. x_{0} + x_{2} + x_{4} + x_{6} =5 که باید در همه دسته ها یک عضو وجود داشته باشد به جز دسته x_{0} که میتواند عضوی نداشته باشد. که میشه 10 حالت که با ضرب 20*10 به جواب 200 میرسیم این راه حل به طور قطع درسته خیالتون راحت باشه چون من خلاقیتی به خرج ندادم و راه اصلی حل اینطور مسائل به این صورته من سعی خودمو کردم منظورمو تا حد امکان برسونم و عذر خواهی بابت پاسخ قبل

قبل توسط soroush za (91 امتیاز)
+1
چون تعداد زوجی از کلید ها روشون تاثیر گذاشته
مثلا دسته دوم کلید a و کلید b روشون تاثیر گذاشته یعنی اول با کلید b روشن و با کلید a خاموش شدن.
قبل توسط soroush za (91 امتیاز)
–1
یکم با مسئله بازی کنین که به خوبی درک می کنید
بخوام خیلی خلاصه بگم یعنی فرض کنم فهمیده باشید 20 و 10 از کجا اومدن.
به ازای هر حالتی که ما 5 مهره یا در دسته های زوج داشته باشیم می تونیم 7 مهره دیگر رو به بیست طریق درون دسته های فرد قرار بدید. یک اصل صرب ساده
قبل توسط mdgi (1,221 امتیاز)
+1
ولی مطمئنم اگر در ازمون المپیاد، جواب را این طوری بنویسید،‌ نمره نمیدن یا نمرهکامل نمیدین
قبل توسط soroush za (91 امتیاز)
بله درسته مسئله اینجاست که من نمی تونم تایپش کنم وگرنه روی ورق دست تو خیلی باز تره و منم کلا 2 روزه دارم فعالیت میکنم و با ابزاری که توی تایپ دارم آشنا نشدم
قبل توسط AmirHosein (10,681 امتیاز)
@soroush_za در مورد نحوهٔ تایپ ریاضی دو پست زیر را بخوانید
- https://math.irancircle.com/56
- https://math.irancircle.com/52
در مورد متن‌هایتان نیز، لطفا واضح‌تر بنویسید. اگر ایده‌ای یا پاسخی دارید نیاز به سریع فرستادن یک متن نیست، بلکه متن را یک بار از نو بخوانید و پس از اینکه مطمئن شدید معنادار و مفهوم و بدون گپ است، آنگاه ارسال کنید.
–1 امتیاز
قبل توسط soroush za (91 امتیاز) 2 نشانه گذاری شده

اول از هرچی اینو باید بدونیم که ترتیب زدن کلید ها مهم نیس و اگه ما 7 کلید رو پیدا کنیم که 7 چراغ رو روشن کنه ترتیب زدن اون کلید ها مهم نیس. اینجوری حل مسئله رو شروع میکنیم: مجموعه ای را در نظر بگیرید که در آن ما همه کلید ها رو زدیم: {1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12} که توی این حالت ما 6 چراغ روشن داریم و 6 چراغ خاموش. پس ما باید 5 عضو رو حذف کنیم که پس از حدف این 5 عضو 7 چراغ روشن داشته باشیم و اگه ما عضو k رو حذف کنیم وضعیت همه چراغ های کوچک تر مساوی آن عوض میشد(انگار ما یه بار دیگه کلید k رو زدیم) اگه ما عدد فردی را حذف کنیم یکی به تعداد چراغ های روشن اضافه میشه و اگه عدد زوجی رو حذف کنیم تعداد چراغ های روشن ثابت میمونه دلیلشم بدیهیه خودتون میتونین دلیلشو پیدا کنین پس در کل ما باید 1 عضو فرد و 4 عضو زوج حذف کنید. \binom{6}{4} * \binom{6}{1}
ایشالا که مشکلتون حل شده باشه

قبل توسط Elyas1 (129 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط Elyas1
+1
پاسخ شما برابر ۹۰ است ولی پاسخ کلیدی آن ۲۰۰ است.

نمیتوان ابتدا همه دوازده کلید را زد فقط قرار است ۷ کلید زده شود.
قبل توسط mdgi (1,221 امتیاز)
+2
وقتی که میگویید چهار عضو زوج را باید حذف کنیم، پس یعنی باید دو زوج بیشتر نداشته باشیم . در حالی که من حالت زیر را بدست اوردم که تعداد زوجهاش بیشتر از دو است:
$$1,2,3,4,5,6,10$$
هم هفت عضو دارد و هم تعداد چراغ های روشن پس از زدن این کلیدها هفت تا است. پس جواب بیشتر از 90 باید باشد
قبل توسط AmirHosein (10,681 امتیاز)
@soroush_za به جای ارسال دو پست در مورد یک پاسخ که دومی ویرایشی از اولی است، روی دکمهٔ مدادشکل زیر پاسخ اولتان کلیک کنید و ویرایش لازم را بر روی آن انجام دهید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...