۱۲ لامپ و کلید داریم. با زدن کلید $k$، لامپ های شمارهٔ کمتر یا مساوی $k$ تغییر می کنند. به چند روش ۷ کلید را می توان زد که دقیقا ۷ لامپ روشن شود؟

Question

۱۲ لامپ و ۱۲ کليد با شماره ۱ تا ۱۲ داريم. با زدن کليد شماره $k$اُم همهٔ لامپ‌هايی که شمارهٔ آنها کمتر يا مساوی $k$ است، تغيير وضعيت می‌دهند. در ابتدا تمامی لامپ‌ها خاموش هستند. به چند طريق می‌توان زيرمجموعه‌های ۷ عضوی از کليدها انتخاب کرد به طوری که با زدن آنها دقيقا ۷ لامپ روشن شود؟

پاسخ مسئله ۲۰۰ است

Answer 1

خب اینجور مسائل یه راه حل ساده دارد ولی منظور رو کامل رسوندن سخت هستش برای همین توی پاسخ قبل به خیال خودم راهی رو پیدا کردم که از این راه حل فرار کنم. سعیم رو میکنم که به بهترین شکل منطور رو برسونم فرض میکنیم 7کلید که زدیم به این صورت باشه {a b c d e f g } چون ترتیب اهمیت نداره فرض میکنیم

a > b > c > d >e > f > g

حال اگر چراغ ها رو به 8 دسته تقسیم میکنیم : چراغ های بزرگ تر از a
چراغ های کوچک تر مساوی a تا b این روند رو ادامه بدید تا دسته آخر که چراغ کوچک تر مساوی g هستش اولین دسته رو مثلا x_{0} که در واقع هیچ کلیدی روی آنها اثر نکرده. این روند نام گذاری رو تا x_{7} ادامه میدیم پس به روشنی واضح است که دسته هایی که شماره فرد دارن روشن و دسته های زوج هم خاموش هستن پس نتیجه میگیریم باید: x_{1} + x_{3} + x_{5} + x_{7} = 7 که باید در هر دسته حداقل یک عضو قرار دارد ( چراغ هایی که هم شماره با کلید های زده شده هستند) که 20 جواب متفاوت دارد. x_{0} + x_{2} + x_{4} + x_{6} =5 که باید در همه دسته ها یک عضو وجود داشته باشد به جز دسته x_{0} که میتواند عضوی نداشته باشد. که میشه 10 حالت که با ضرب 20*10 به جواب 200 میرسیم این راه حل به طور قطع درسته خیالتون راحت باشه چون من خلاقیتی به خرج ندادم و راه اصلی حل اینطور مسائل به این صورته من سعی خودمو کردم منظورمو تا حد امکان برسونم و عذر خواهی بابت پاسخ قبل

Comments

چون تعداد زوجی از کلید ها روشون تاثیر گذاشته
مثلا دسته دوم کلید a و کلید b روشون تاثیر گذاشته یعنی اول با کلید b روشن و با کلید a خاموش شدن.

---

یکم با مسئله بازی کنین که به خوبی درک می کنید
بخوام خیلی خلاصه بگم یعنی فرض کنم فهمیده باشید 20 و 10 از کجا اومدن.
به ازای هر حالتی که ما 5 مهره یا در دسته های زوج داشته باشیم می تونیم 7 مهره دیگر رو به بیست طریق درون دسته های فرد قرار بدید. یک اصل صرب ساده

---

ولی مطمئنم اگر در ازمون المپیاد، جواب را این طوری بنویسید،‌ نمره نمیدن یا نمرهکامل نمیدین

---

بله درسته مسئله اینجاست که من نمی تونم تایپش کنم وگرنه روی ورق دست تو خیلی باز تره و منم کلا 2 روزه دارم فعالیت میکنم و با ابزاری که توی تایپ دارم آشنا نشدم

---

@soroush_za در مورد نحوهٔ تایپ ریاضی دو پست زیر را بخوانید
- https://math.irancircle.com/56
- https://math.irancircle.com/52
در مورد متن‌هایتان نیز، لطفا واضح‌تر بنویسید. اگر ایده‌ای یا پاسخی دارید نیاز به سریع فرستادن یک متن نیست، بلکه متن را یک بار از نو بخوانید و پس از اینکه مطمئن شدید معنادار و مفهوم و بدون گپ است، آنگاه ارسال کنید.