جدول ۶ در ۶ آمده در متن پرسش را نگاه کنید. به چند طریق می توان ۶ خانه برگزید که نیمی از یک رنگ و نیمی از رنگ دیگر و صادق در یک شرط دیگر باشند.

Question

خانه‌های يک جدول 6 در 6 همانند شکل زير با ۴ رنگ، رنگ‌آميزی شده‌اند. به چند طريق می‌توان ۶ خانه از اين جدول را انتخاب کرد به‌طوری که ۳ تا از آنها از يک رنگ و ۳ تا از رنگ ديگری باشند و در ضمن هيچ دوتا در يک سطر يا ستون قرار نداشته‌باشند؟

Answer 1

خوب نگاه کنید در رنگ آمیزی متوجه 2 نکته می شوید

نکته اول. هر رنگ مثلا رنگ شماره $1$ در $9$ خانه که در سه سطر و سه ستون قرار دارد

نکته دوم. درسه سطر سه ستون رنگ $1$ همراه با دو رنگ 3و 2 می باشد

• بنابراین در سه سطر و سه ستون دیگر فقط رنگ 4 می باشد رنگ 1 در سطر اول 3 حالت در سطر بعدی(سطر سوم) 2حالت و در سطربعدی 1حالت. رنگ بعدی اجبارا رنگ 4 می باشد که مانند رنگ 1 به $1×2×3=6$

• بنابراین با انتخاب رنگ ها دو حالت می باشه یا از بین رنگهای 1 و 4 یا ازبین رنگهای 2و3 می توان انتخاب کرد پس انتخاب دو رنگ 2 حالت می باشه بنابراین

$$2×6×6=72$$

Comments

@amir7788 دلیل اینکه حاصل نهایی‌تان دو برابر پاسخ درست شده‌است این است که انتخاب هر یک از چهار رنگ را برابر با یک ۳۶ حالت متمایز گرفته‌اید که در نتیجه به $4\times 36$ رسیده‌اید. در حالیکه انتخاب رنگ نخست ۱ باشد یا ۴ تفاوتی در ۳۶ حالت‌هایشان ایجاد نمی‌کند. توجه کنید که بگوئیم رنگ یکُم ۱ و رنگ دوم ۴ باشد یا بگوئیم رنگ یکُم ۴ باشد و رنگ دوم ۱ باشد تغییری در رنگ‌آمیزی‌تان ایجاد نمی‌کند چون مکان خانه‌ها تغییر نخواهد کرد. بنابراین شما واقعا ۲ انتخاب دارید نه ۴ انتخاب. و به $2\times 36$ یا $\frac{4\times 36}{2}$ می‌رسید.

Answer 2

به نام خدا.

بیایید ستون ها را یکی در میان با دو رنگ سیاه و سفید رنگ کنیم. مثلاً ستون اول به رنگ مشکی باشد.

حالت ها را بررسی می کنیم.

1. آن دو نوع رنگ $1,3$ باشند:

ابتدا با رنگ شماره یک شروع می کنیم. ستون اول دارای سه تا خانه ی دارای رنگ شماره $1$ است. در ستون سوم تنها دو انتخاب داریم و در ستون پنجم تنها یک انتخاب داریم. حال نوبت رنگ شماره $3$ است. هیچ انتخابی نداریم زیرا در ستون های شامل رنگ $3$ رنگ شماره ی $1$ ای وجود داشته است که آن را انتخاب کرده ایم.

این مطلب نیز برای دو رنگ $2,4$ نیز درست است.

۲. آن دو نوع رنگ شامل $1,2$ باشند: اگر شکل را بچرخانیم مانند حالت قبل می شود. پس در این حالت ممکن نیست. این مطلب برای $3,4$ نیز درست است.

۳. آن دو رنگ $1,4$ باشد. توجه کنید که انتخاب رنگ های شماره یک و چهار روی هم تاثیر نمی گذارند یعنی تعداد حالت هایی که می توانیم سه خانه ی شامل رنگ یک انتخاب کنیم برابر است با تعداد حالت هایی که می توانیم خانه شماره 4 انتخاب کنیم. پس می شود:

$6×6=36$

این مطلب در مورد دو رنگ $2,3$ نیز درست است. پس پاسخ می شود:

$36+36=72$