سوالاتی که شما پرسیدید در واقع یک فصل بزرگ از درس مبانی علوم ریاضی در دوره کارشناسی رشته ریاضی است و حتی دانشجویان رشته های مهندسی هم درسی در این زمینه نمی خوانند. به طور خلاصه اشاره می کنم، ولی طبیعی است که اشاره من ناقص خواهد بود، چون اگر بخواهم کامل بگویم باید چندین جلسه وقت بگذارم.
اول این را بدانید که ما چیزی به اسم بی نهایت نداریم و این تنها یک مفهوم حدی است، در ضمن مفهوم بی نهایت ربطی به بقیه مفاهیمی که پرسیدید ندارد.
هر زیرمجموعه از اعداد طبیعی به شکل
$\Bbb{N}_{n}=\{1,2,,\cdots,n\}$
که در آن $n$ عددی طبیعی است و هر مجموعه دیگر که در تناظر یک به یک با آن باشد را یک مجموعه متناهی با $n$ عضو گوییم. مجموعه ای که متناهی نباشد (یعنی با هیچ $\Bbb{N}_{n}$ی در تناظر یک به یک نباشد) را یک مجموعه
نامتناهی
گوییم.
هر مجموعه نامتناهی که با مجموعه اعداد طبیعی $\Bbb{N}$ در تناظر یک به یک باشد را شمارا (یا شمارش پذیر) گوییم. در غیر این صورت آن را ناشمارا(یا بی شمار یا شمارش ناپذیر) گوییم.
مثلا مجموعه های اعداد طبیعی $\Bbb{N}$، اعداد صحیح$\Bbb{Z}$ و اعداد گویا$\Bbb{Q}$ همگی شمارا هستند ولی مجموعه های اعداد گنگ و اعداد حقیقی ناشمارایند.
