به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
95 بازدید
در دبیرستان توسط SN (249 امتیاز)
ویرایش شده توسط SN

پرتوی لیزری را از یک گوشه مستطیلی که جنس ضلع های داخلی آن آیینه است میتابانیم اگر بازتاب پرتو از یکی از راس های غیر مجاور راس اول خارج شود ( و پیش از این به هیچ یک از راس ها نرسیده باشد ) ، ثابت کنید پرتو از مرکز مستطیل گذشته است .

تلاش خودم : براساس اصل بازتاب واضح است که زاویه تابش و بازتاب برابرند ، شاید استفاده از برهان خلف هم مفید باشد .

توضیحات تصویر

توسط moh_amin (352 امتیاز)
+1
لطفا منظورتون از راس های غیر مجاور را به طور واضح بیان کنید . آیا منظور دو راسی‌ست که در هیچ ضلعی مشترک نیستند یا در هیچ وجهی مشترک نیستند یا ... ؟
توسط SN (249 امتیاز)
ویرایش شده توسط SN
+1
moh_amin@ سوال قبلی صورت سه بعدی این پرسش بود این سوال اصلی هست که درباره درستی حکمش مطمئنم و احتمال دادم که شاید سوال قبلی هم درست باشد .منظور از راس غیرمجاور در سوال قبل راس هایی هستند که یال مشترک ندارند .

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط moh_amin (352 امتیاز)
ویرایش شده توسط moh_amin
 
بهترین پاسخ

دو بازتاب متوالی در این مستطیل روی دو ضلع غیر یکسان صورت میگیرد که یا مجاورند و یا مقابل؛ و با توجه به تصویر زیر میتوان ثابت کرد که در هر دو صورت مسیر نور پس از دو بازتاب متوالی موازی است:

توضیحات تصویر

بنابراین هر نمونه از این مسیر حداکثر شامل دو شیب برای خطوط مسیر میباشد. با توجه به گزینه های موجود نور تنها میتواند با شیبی که وارد شده است خارج بشود.

حال فرض کنید نمونه ای داریم که در آن نور از نقطه بالا سمت چپ مستطیل وارد شده و از نقطه پایین سمت راست خارج میشود. در این صورت اگر تصویر حاصل شده را $180°$ دوران دهیم به همان تصویر اولیه میرسیم زیرا نور با همان شرایط یکسان (یعنی از همان نقطه بالا سمت چپ و همان شیب اولیه) وارد شده است. از این موضوع میتوان نتیجه گرفت که هر الگویی که در آن نور از نقطه ای وارد و از نقطه ای غیرمجاور خارج میشود دارای تقارن مرکزی است و از آنجا که تقارن مرکزی در مورد مستطیل نیز باید صدق کند پس مرکز تقارن مرکز مستطیل است.

توضیحات تصویر

هم اکنون بیاید فرض کنیم در این نمونه نور به صورت همزمان از نقطه بالا سمت چپ و پایین سمت راست وارد مستطیل میشود. این دو مسیر دقیقا در یک نقطه به یکدیگر میرسند (منظور قطع کردن نیست بلکه منظور نقطه ای‌ست که پس از آن هریک مسیر دیگری را ادامه میدهد). در حقیقت مسیری که نور ورودی از نقطه پایین سمت راست طی میکند همان قرینه مسیر نور ورودی از نقطه بالا سمت چپ نسبت به مرکز مستطیل است و زمانی که این دو به هم میرسند نقطه ای داریم که خودش و قرینه اش نسبت به مرکز مستطیل منطبق شده اند بنابراین نقطه مورد نظر مرکز مستطیل است و این نشان میدهد که حکم احتمالا درست است (توجه داشته باشید که این اثبات از لحاظ ریاضی کامل نیست و صرفا در توصیف و ایجاد ذهنیت کلی به ما کمک میکند)


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...